Joseph Gascón plantea en su artículo¹ sobre este tema: "la función que se asigne a la resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas, depende, por una parte, del modelo epistemológico implícito que sostiene la noción de problema de matemática y, por otra, de lo que en cada caso se crea que significa 'enseñar' y 'aprender matemática'". El autor identifica ciertas formas ideales que denomina paradigmas, y aclara que no pretende realizar una historia del papel que ha jugado la resolución de problemas en los últimos años de la enseñanza de la matemática, si bien podrán identificarse algunas de las formas más usuales de pensar la resolución de problemas.

Así, menciona el paradigma teoricista, en el cual "poniendo el acento en los conocimientos acabados y cristalizados en "teorías" consideran la resolución de problemas como un aspecto secundario dentro del proceso didáctico global". En este paradigma, los problemas tienden a ser trivializados y descompuestos en ejercicios rutinarios, y en particular se ignoran las tareas dirigidas a elaborar estrategias de resolución de problemas. Por ejemplo, ubican en este caso aquellos problemas de preguntas múltiples, cuyas respuestas van construyendo la resolución del problema, dando las consignas intermedias y los recursos a usar para resolver cada una de esas pequeñas consignas. Son problemas -según este autor- cuya función principal es aplicar las teorías, ejemplificar o justificar algunos conceptos teóricos, pero son considerados en general como funciones didácticas, es decir que no son constitutivas del conocimiento matemático. La principal característica de este paradigma es que "ignora absolutamente los procesos de la actividad matemática como tal y, en consecuencia, no concede ninguna importancia "epistemológica ni didáctica" a la génesis y al desarrollo de los conocimientos matemáticos".

El paradigma tecnicista se caracteriza por asignarle muy poca importancia al dominio de las técnicas matemáticas. No puede imaginar que los alumnos puedan desarrollar por sí mismos ciertas técnicas y convierte a este aprendizaje en uno algorítmico. Como dice Gascón: "este punto de vista puede provocar una catástrofe didáctica que es muy visible cuando afecta a los niveles más básicos de la enseñaza de la matemática. En la enseñanza primaria, en efecto, el menosprecio del dominio de las técnicas puede provocar un "vacío" del contenido de la enseñanza hasta el punto de que al final los alumnos no puedan mostrar ningún aprendizaje efectivo, ni siquiera el dominio de las operaciones aritméticas básicas". Esto justificaría, según el autor, "el surgimiento del paradigma que enfatiza los aspectos más rudimentarios del momento de la técnica y concentra en ellos los mayores esfuerzos".

Los dos paradigmas mencionados comparten una misma concepción psicologista ingenua del proceso didáctico, continúa el autor, que tiene en el conductismo su referencia más clara y que "considera al alumno como una caja vacía que debe llenarse a lo largo de un proceso gradual que parte de los conceptos lógicamente más simples hasta llegar, paso a paso, a los sistemas conceptuales más complejos, o bien como un autómata que mejora el dominio de las técnicas mediante la simple repetición".

El tercer paradigma mencionado en el artículo corresponde al modernista. Los efectos extremos de los paradigmas anteriores, pueden provocar la necesidad de rescatar la actividad de resolución de problemas en sí misma, ignorada por los paradigmas anteriores y tomarla como eje central. El paradigma modernista "tiende a identificar la actividad matemática con la exploración de problemas no triviales", es decir se presentan problemas que aún no se saben resolver, se prueba con distintas técnicas o métodos, para comprobar adónde se puede llegar, se buscan problemas semejantes, etc. La idea es que los alumnos puedan tomar posesión de la situación planteada y empezar a hacer ensayos, conjeturas, proyectos de resolución y contraejemplos, que constituyen tareas típicas de la actividad exploratoria de resolución de problemas.

Gascón afirma que aunque el paradigma modernista pretende superar al conductismo clásico, "coloca en su lugar una especie de "activismo" que no deja de constituir otra modalidad de psicologismo ingenuo fundamentada, en este caso, en una interpretación muy superficial de la psicología genética".

El cuarto paradigma mencionado, el constructivista, pretende introducir la resolución de problemas con el objetivo de que los alumnos puedan "construir" nuevos conocimientos. El autor retoma la caracterización que hace Douady (1986) de una "situación problema":

• El alumno ha de poder introducirse en la resolución del problema y ha de poder considerar lo que es una solución posible.
• Los conocimientos del alumno han de ser, en principio, insuficientes para resolver el problema.
• La "situación problema" ha de permitir al alumno decidir si una solución determinada es correcta o no.
• El conocimiento que se desea que el alumno adquiera ("construya") ha de ser la herramienta más adecuada para resolver el problema al nivel de conocimientos del alumno.
• El problema se ha de poder formular en diferentes "cuadros" (por ejemplo, cuadros físico, geométrico, algebraico) entre los que han de poderse establecer correspondencias.

El avance que constituye este paradigma con respecto a los demás es que integra el momento exploratorio con el momento teórico, dando gran importancia al papel de la actividad de resolución de problemas en la génesis de los conceptos.

Si bien el autor presenta aún 3 paradigmas diferentes: procedimental, modelización y de los momentos didácticos, que no retomaremos aquí², podemos constatar en lo presentado la variedad de significados que se puede atribuir a la resolución de problemas.

Si queremos que los alumnos aprendan matemática haciendo matemática, deberemos organizar situaciones que enfrenten a los alumnos a genuinos problemas que les permitan utilizar sus conocimientos previos, elaborar conjeturas, ponerlas a prueba, etc., tal como lo enunciara Brousseau y como fue retomado en el inicio de este texto.

Estos problemas deberían constituir la ocasión de explorar situaciones que permitan la construcción de conocimientos, pero también la elaboración de técnicas para resolver tipos de problemas y no sólo problemas aislados. Esas técnicas, elaboradas primeramente con los alumnos, deberían evolucionar para abarcar cada vez un número mayor de situaciones, hasta lograr una cierta técnica general, aunque no pueda ser algoritmizada.

Por ejemplo, veamos un proceso posible de aprendizaje relacionado con los primeros conceptos de matemática en la escuela, como son la suma y la multiplicación de naturales. Dado que los alumnos ya han trabajado con la suma, podrán planteárseles contextos que llamaríamos de multiplicación, que podrían resolver adaptando sus conocimientos de suma. Por ejemplo, el problema³:

Una editorial envía libros a las librerías de distintas provincias. Los libros se colocan en cajas donde caben 5 libros. El lunes de esta semana armaron 8 cajas. ¿Cuántos libros mandaron?

Para resolverlo es necesario adaptar el conocimiento aditivo a esta nueva situación, donde los datos en juego no constituyen cantidades homogéneas, como en el caso de la suma. Si no se modificara el conocimiento anterior, se vería aparecer la resolución errónea:
5 8 = 13.

Problemas como este permiten que se empiece a identificar un tipo especial de problemas que luego llamaremos de multiplicación. Sin embargo, no se lograrán mayores avances en este conocimiento si no se realiza, en forma paralela, un desarrollo de técnicas de cálculo para este tipo especial de situaciones. Los alumnos no abandonarán la suma como recurso de cálculo si no disponen de otros medios para hacerlo en los cuales confíen. Entonces, el desarrollo conjunto de obtención de resultados de multiplicación y de resolución de problemas de suma y de multiplicación, y su reflexión sobre ellos, permitirá hacer avanzar el conocimiento matemático.

Un ejemplo de un proceso de construcción de conocimientos en niveles más altos de escolaridad, como es 3º ciclo, es el presentado por Carmen Sessa en su libro Iniciación al estudio didáctico del álgebra⁴ al plantear la entrada al álgebra por medio de la generalización y la producción de fórmulas, como el caso de contar el número de cuadritos pintados en una cuadrícula como la siguiente y de producir una fórmula que permita ese cálculo en función de la cantidad de cuadritos del lado del cuadrado.

Las primeras situaciones presentadas pueden ser resueltas a partir de técnicas muy simples como el conteo, pero el aumento en el número de cuadraditos del lado las vuelve poco económicas y obliga a los alumnos a buscar recursos más evolucionados para simplificar la tarea.

La necesidad de estudiar y comparar las fórmulas producidas en el seno de momentos de interacción colectiva, organizados por el docente, plantea discusiones de escritura diferente de un mismo objeto matemático, y de varias respuestas a una situación, que no siempre se imaginan que pueden ser equivalentes.

Esta discusión sobre la equivalencia admite -según la autora- un trabajo en tres planos diferentes:

• "evaluar las distintas fórmulas en números particulares y constatar que den igual (validación insuficiente, pero no incorrecta);"
• asegurar que esto es así, pues todas las fórmulas cuentan lo mismo (es decir, apoyarse en lo correcto de cada fórmula para contar los cuaditos del borde y concluir que valen lo mismo para cada valor de la variable independiente);
• apoyarse en las propiedades de los números y de las operaciones para afirmar la igualdad de dos cálculos, para todo valor de n.

Posteriormente, esa equivalencia un tanto estática debería irse transformando en leyes de transformación más dinámicas, que permitirán pasar de una escritura a otra. Estas transformaciones deberían permitir encontrar escrituras equivalentes, resolver ecuaciones, etc., pero conservando el control de las modificaciones, obteniendo en todos los casos expresiones equivalentes.

Esta propuesta, que se inicia con la resolución de una serie de problemas (o cuestiones) va desarrollando las técnicas en paralelo. J.P. Drouahard, citado por la autora, llama autómatas formales a los alumnos que no tienen en cuenta, cuando manipulan las expresiones del álgebra elemental, que al transformar una de ellas se debe obtener una equivalente. En este caso, la pregunta de la validación del resultado no se plantea en términos de la equivalencia de las escrituras obtenidas, sino ante todo en términos de conformidad con reglas y procedimientos (por ejemplo, "lo que está restando pasa sumando").

En cambio, se pretende que los alumnos vayan construyendo sus herramientas de control y sus estrategias para seleccionar las transformaciones adecuadas para resolver un determinado problema.

Marianna Bosch, en el artículo ya citado, plantea el modelo de la actividad matemática que propone el enfoque antropológico en didáctica de la matemática, teoría elaborada por Yves Chevallard alrededor del año 1999 -que no presentaremos aquí-, de gran importancia para la conceptualización de la matemática y del quehacer matemático. La teoría antropológica de lo didáctico forma parte del programa epistemológico en el que se considera a la actividad matemática como objeto primario de estudio. "La primera de las ampliaciones de "lo matemático" estuvo protagonizada por la Teoría de las Situaciones Didácticas elaborado por Guy Brousseau a finales de los 60, que incluyó como parte integrante de los conocimientos matemáticos las condiciones de su utilización en situación escolar. La TAD amplia aún más esta problemática al considerar que no es posible interpretar adecuadamente la actividad matemática escolar sin tener en cuenta los fenómenos relacionados con la reconstrucción escolar de las matemáticas que tienen su origen en la propia institución productora del saber matemático. Esto dio origen a la teoría de la transposición didáctica (Chevallard 1985) y posteriormente a la aparición de la TAD, en la cual se toma como objeto de estudio primario de investigación la actividad matemática"⁵.

¹Gascón, Joseph (1994), "El papel de la resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas", en Educación matemática, vol. 6 Nº 3, diciembre de 1994, Grupo Editorial Iberoamérica, México.

²Si bien este artículo no está disponible en internet, hay referencias de estos contenidos en otros artículos del autor, disponibles en distintos sitios. Un buscador permitirá acceder a las distintas publicaciones a partir del nombre del autor.

³Saiz, I., Parra, C. (1998), Hacer matemática, Editorial Estrada, 2º año EGB.

⁴Sessa, Carmen (2005), Iniciación al estudio didáctico del álgebra. Orígenes y perspectivas, Libros del Zorzal, Buenos Aires.

⁵Gascón J. (2002) El problema de la educación matemática y la doble ruptura de la didáctica de las matemáticas, Barcelona, España; citado en Bezmalinovic, Horacio: Algebrización en la proporcionalidad de magnitudes, Universidad Autónoma de Barcelona y Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile, disponible en internet.