Siguiendo a Chevallard, Bosch y Gascón se pueden describir tres grandes tipos de actividades que podrían considerarse como matemáticas:
"Utilizar matemáticas conocidas: el primer gran tipo de actividad matemática consiste en resolver problemas a partir de las herramientas matemáticas que uno ya conoce y sabe cómo utilizar, como el plomero que a partir de sus conocimientos arregla una canilla que pierde."
Aprender y enseñar matemática: frente a un problema que no se sabe resolver se puede recurrir a un matemático que lo resuelva o bien aprender la matemática necesaria para hacerlo.
Crear matemáticas nuevas: en principio, se podría decir que sólo los matemáticos producen matemáticas nuevas, pero en realidad, a nivel de los alumnos se puede afirmar que todo aquel que aprende matemática participa de alguna manera en un trabajo creador. Con frecuencia, para resolver un problema tendrá que modificar sus conocimientos anteriores ligera o profundamente para adaptarlos a las peculiaridades de su problema. Los alumnos no crean matemática nuevas para la humanidad, pero sí nuevas para ellos.
La actividad matemática no puede reducirse a aprenderlas y enseñarlas, no son un fin en sí mismo, sino un medio para responder a ciertas cuestiones.?
¿Qué significa hacer matemática? Justamente es hacerlas, en el sentido propio del término, construirlas, fabricarlas, producirlas. Por supuesto no se trata de hacer reinventar a los alumnos la matemática que ya existe, sino de involucrarlos en un proceso de producción matemática donde su actividad tenga el mismo sentido que tiene para los matemáticos que crean conceptos matemáticos nuevos.
Hacer matemática no debería ser una actividad que permitiera a un pequeño número de elegidos por la naturaleza o por la cultura acceder a un mundo muy particular signado por la abstracción.
Hacer matemática es un trabajo del pensamiento, que construye conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de los conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver esos nuevos problemas, que generaliza y unifica poco a poco esos conceptos en universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar.
No se trata de dar respuestas definitivas a estas cuestiones; por el contrario, cada uno de los argumentos o de las cuestiones que se abordaron abre una gran cantidad de nuevas preguntas, pero hay algo que es indiscutible y es que más allá de qué matemática se enseñe o se aprenda en la escuela, debe ser una matemática con sentido, que permita al alumno ingresar al universo matemático, no sólo conocer y aprender los conceptos fundamentales de este edificio, sino también conocer y practicar las actividades propias de esta ciencia, su forma de actuar, de obtener nuevos resultados, de validarlos..., y que fundamentalmente le permita involucrarse en el aprendizaje.
Algunas reflexiones relacionadas con esta pregunta nos las plantea Jean Pierre Bourguignon1 en una conferencia dirigida a profesores de matemática responsables de la formación de maestros2, en la misma línea de preguntarse cuál es el rol de la matemática en la sociedad y de sus consecuencias sobre la enseñanza.
Y uno de los primeros aportes de este profesor en la conferencia citada corresponde a tratar de contestar sobre cuál es la naturaleza de la matemática en tanto ciencia. Y menciona los que para él son sus caracteres específicos:
Es importante para esto colocarse en una perspectiva histórica. La forma de expresar la matemática ha evolucionado en el curso de la historia. Se tiene hoy la idea de que una matemática perfecta sería totalmente formalizada, sabiendo sin embargo que esta matemática perfectamente formalizada no coincidiría con la matemática producida por los matemáticos en su trabajo, ni con una matemática que se enseñe.
El ideal de una formalización posible de la matemática se traduce, cuando se quieren enunciar hechos matemáticos, por la condición de utilizar un lenguaje preciso. De la misma manera, existe la obligación, cuando se utiliza un lenguaje imaginado, de vigilar que no introduzca imágenes erróneas. Esta condición puede ser vivida como una restricción insoportable, sobre todo si se acompaña, como es el caso a menudo, de un cambio o modificación de las palabras del lenguaje cotidiano. La utilización del lenguaje natural tiene evidentemente sus ventajas, ya que permite hacer frases, manipular permanentemente juegos de palabras. El peligro es de todos modos que, haciendo esto, se esté forzado a vivir una especie de doble vida, lo que no es nunca fácil de mantener.
Esta relación particular con el lenguaje explica seguramente en parte la tentación de reducir la matemática a un lenguaje, ya que desde el primer contacto que se tiene con ella es este aspecto el que puede ser más inquietante.
Esto supone que se reflexione realmente sobre eso y probablemente que se tome el tiempo de discutirlo con los alumnos, aunque más no sea porque constantemente se siembra el discurso matemático de frases no matemáticas, creando riesgos de confusión. Y esto vale tanto para los estudiantes avanzados como para los que recién se inician.
Para abordar esta discusión de manera totalmente seria, habría que entrar en un debate filosófico, pero no es este el lugar. Digamos, esquematizando mucho, que se puede ubicar a los matemáticos en una escala. En un extremo están los platónicos, que piensan que hay una realidad matemática a la cual se accede como a otras realidades, pero con un lenguaje particular y con miradas un poco particulares, y para los cuales haciendo matemáticas no se hace otra cosa que descubrir objetos y hechos preexistentes.
Y después, en el otro extremo, están los intuicionistas o formalistas, quienes, por el contrario, piensan que la matemática es una construcción humana que representa un consenso entre comunidades que se definen a ellas mismas. Para ellos, no hay realidad matemática, sino simplemente un discurso que tiene sus propias reglas, en particular, reglas de coherencia bien definidas sobre campos semánticos bien definidos, pero ninguna de ellas sería una realidad en sí misma. Debo confesar que no conozco a ningún matemático que, en un cierto momento de su trabajo, no reconozca adoptar un punto de vista un poco platónico. En efecto, demandarse si tal hecho es verdadero o falso fuerza ipso facto a plantear la realidad de ese hecho para saber de qué se habla.
La relación particular con la verdad tiene que ver con el hecho de que los enunciados matemáticos pueden atravesar los siglos, trascender las culturas y ser también fácilmente trasmisibles. Una de las consecuencias es que la comunidad matemática es una de las más internacionales que existen.
(?) El rol central que juega la noción de demostración como piedra angular de la disciplina, exige rigor y también esfuerzo para tomar distancia en relación con las concepciones personales o locales. (?)
Esta relación particular con la verdad tiene otra dimensión que, según mi opinión, hay que tener en cuenta seriamente al considerarla sobre el plano de la pedagogía y de la función que puede asumir la matemática en la enseñanza. En efecto, una vez que una persona (y esta persona puede ser tanto un docente como un alumno) ha establecido o comprendido una propiedad, de cierta forma se la apropia, y esto le da un recurso suplementario para resistir a las presiones exteriores que se apoyarían sobre argumentos de autoridad.
Un punto al cual le doy mucha importancia es el gran éxito de la matemática, en efecto, uno de los grandes éxitos de la historia del pensamiento humano. Es así que la herencia de los matemáticos del pasado hace que se puede decir algo sensato sobre el infinito. El gran cambio se produjo hacia el fin del siglo XVII alrededor de Newton, Leibniz y algunos otros. Este período es muy importante, ya que sirvió de fundamento para el desarrollo de todo el modo de desarrollo industrial de la sociedad de hoy en día. Sin el cálculo diferencial inventado por Leibniz y Newton no habría existido la mecánica y por lo tanto tampoco la industria tal como se la conoce. Para mí, no hay duda de que la matemática, como ciencia, ha aportado cosas radicalmente nuevas que otras ciencias no habían aportado.
Evidentemente, se podrían decir muchas otras cosas sobre las especificidades de la matemática. Deliberadamente hemos centrado este texto en aquellas especificidades que parecen tener repercusiones directas sobre la enseñanza y la profesión de docente.
En matemática no sólo hay que aprender definiciones, teoremas, propiedades, sino también una forma de hacer matemática, es decir de producirla, pero también de justificar, de argumentar y de validar las afirmaciones realizadas, y aun de comunicarla utilizando un lenguaje específico, características estas que han sido señaladas como las principales de esta disciplina por los autores mencionados.
1Investigador matemático, Director de un IUFM (Instituto Universitario de Formación de Profesores), presidente de la Sociedad Matemática Europea, integrante del CNRS (Centro Nacional de Investigación Científica) y de la Sociedad Matemática de Francia.
2Actas del XXIII Coloquio InterIrem, realizado en la Grande-Motte, en mayo de 1996. Traducción propia.