Teorema del seno y del coseno
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Autores: Rodrigo Weber y Sebastián Vera
Responsable disciplinar: Sebastián Vera
Área disciplinar: Matemática
Temática: Teorema del seno y del coseno
Nivel: Secundario, ciclo orientado
Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En esta secuencia trabajaremos con el teorema del seno y del coseno y su aplicación en triángulos oblicuos. Los alumnos trabajarán con diferentes situaciones que les permitirán comprender cómo se aplican estos dos teoremas en triángulos que no son rectángulos. También analizarán cómo se pueden aplicar estos teoremas en situaciones de la vida real.
Objetivos de las actividades
Que los alumnos:
Apliquen el teorema del seno y del coseno para resolver triángulos oblicuángulos.
Utilicen la calculadora correctamente.
Formulen los teoremas empleados del seno y coseno para resolver problemas prácticos.
Actividad 1
1) Analicen la siguiente situación:
Un arquitecto necesita construir una rampa como se muestra en la siguiente figura:
a) ¿Con los datos que se muestran en la figura, podrá el arquitecto calcular cuánto vale la longitud de esta rampa? Justifiquen su respuesta y discutan los resultados junto con su docente.
b) En la figura anterior queda determinado un triángulo oblicuo (no contiene un ángulo recto), por eso no es posible aplicar ninguna relación trigonométrica de las que ustedes ya conocen, pues solo se aplican en triángulos rectángulos. Afortunadamente, existen dos propiedades que nos permitirán trabajar con triángulos oblicuos. Ingresen en el siguiente link para saber cómo se llaman y comprender cómo se aplican estas propiedades.
c) Con base en lo analizado en el link anterior, expliquen con sus palabras el teorema del seno y del coseno (indiquen qué lados y ángulos se relacionan de un triángulo oblicuo).
d) ¿Cuál de los dos teoremas explicados en el ítem c) se podría aplicar para calcular la longitud de la rampa? Aplíquenlo y calculen dicha longitud.
e) Junto con el docente, analicen las demostraciones que aparecen en el link del ítem b). Pueden profundizar este tema en los siguientes links:
Actividad 2
1) Analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Utilicen la calculadora científica de sus equipos para realizar todos los cálculos que crean necesarios.
a) Hallen los valores de los lados y ángulos que faltan en cada caso, según el triángulo de la derecha:
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β = 50º; b = 12 cm; c = 10 cm Ω = 120º; a = 8 cm; c = 10 cm. φ = 150º; b = 5 cm; c = 8 cm. |
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b) Un rombo tiene lados de 10 cm, calculen la longitud de sus diagonales si el ángulo de uno de sus vértices es de 65º.
c) En una esquina de un campo triangular el ángulo interior mide 52º, los lados que se encuentran en esa esquina miden 100 metros y 150 metros de largo. ¿Cuánto mide el tercer lado?
d) Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos llegar. Tomando otro punto C, que dista del primero 42,6 metros; desde los puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC ángulos BAC = 53,7º y BCA = 64º. Hallen la distancia entre A y B.
Actividad de cierre
1) Dos observadores colocados a 110 metros de separación en A y en B, en la orilla de un río, están mirando una torre en la orilla opuesta en el punto C. Midieron los ángulos <CAB y <CBA, que fueron de 43º y 57º respectivamente.
a) ¿A qué distancia está el primer observador de la torre?
2) Luego de un choque muy fuerte con un tractor, el poste de la red eléctrica de la estancia de don Evaristo no quedó perpendicular al suelo. Su sombra es de 5,5 m cuando el ángulo de elevación del sol es de 68º, con respecto a la horizontal. Calculen la variación del ángulo de inclinación entre el poste y el suelo, si antes del choque proyectaba una sombra de 5 m a la misma hora.
3) Dos corredores A y C parten del mismo punto B a las 12:00 del día. Uno de ellos se dirige hacia el norte a 36 km por hora, y el otro, a 68º al noreste a 38 km por hora. ¿Cuál es la distancia entre ellos a las 3:00 de la tarde?
4) En una competencia de natación dos amigos parten lanzándose al agua desde una balsa al mismo tiempo; el primero nada a una velocidad promedio de 6 km/h y el segundo a 5 km/h. Comienzan a alejarse entre sí con un ángulo de 35º; después de media hora de competencia, el segundo sufre un calambre.
a) ¿Que distancia recorrerá el primero para ir en su auxilio y qué ángulo tendrá la nueva dirección de este?
Enlaces de interés y utilidad para el trabajo
Teoremas del seno y coseno para resolver triángulos y distancias
Teoremas del seno y del coseno