Cónicas, parte I
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Autores: Laura Spivak y Pablo J. Kaczor
Responsable disciplinar: Sebastián Vera
Área disciplinar: Matemática
Temática: Cónicas
Nivel: Secundario, ciclo orientado
Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En esta secuencia se muestra cómo las cónicas nos rodean e intervienen en nuestras vidas, y se proponen actividades muy variadas.
Objetivos de las actividades
Promover la búsqueda y la selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, como así también la evaluación, la validación y la discusión.
Promover el intercambio de diversas estrategias entre pares, el trabajo colaborativo, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Objetivos pedagógicos
Actividad 1: Cónicas por todas partes
Indíquenles a sus alumnos que van a ver una presentación realizada por la Universidad de Zaragoza, y dos videos cortos del programa español Más por menos, y que luego deberán responder un cuestionario y realizar otras actividades sobre la base de lo que vieron.
La presentación de la Universidad de Zaragoza es un archivo PowerPoint con 69 diapositivas y una voz en off. Se titula Rodeados por las cónicas.
Deberán hacer clic en el siguiente vínculo, guardar el archivo en el servidor y hacer que cada alumno lo guarde en su equipo portátil mediante un pendrive. De ser posible, proyecten la presentación en una pantalla para que todos puedan verla al mismo tiempo.
Para ver los videos del programa Más por menos (escritos y presentados por Antonio Pérez), hagan clic sobre los siguientes vínculos:
Primera parte (duración 14:40)
Una vez visto el material, indíquenles a sus alumnos que se agrupen de a dos para responder el siguiente cuestionario en un procesador de textos, y que luego lo guarden con sus nombres en el servidor.
- ¿Qué relación hay entre las cónicas, el sistema planetario y las órbitas de los cometas?
- ¿Cómo se relacionan las cónicas con los relojes de sol?
- ¿Qué ejemplos de cónicas pueden verse en la cocina o en el comedor de una casa?
- ¿Pueden dar ejemplos de cómo se aprovechan las cónicas en usos medicinales y en el deporte?
- ¿Qué forma tienen las antenas satelitales, los faros de los automóviles y las linternas? ¿Por qué tienen esa forma? ¿Cómo se utiliza esa propiedad en un receptor parabólico para producir energía eléctrica?
- ¿Qué cónica interviene en los sistemas de navegación? ¿Para qué se utiliza el sistema LORAN?
- ¿Qué forma tienen las torres de enfriamiento de una central térmica? ¿Por qué tienen esa forma?
- ¿Qué cónica interviene en la repulsión de dos cargas eléctricas de igual signo?
Cierre de la actividad 1
1) A continuación verán el enunciado de la Primera Ley de Kepler y un applet con la órbita que describe cada planeta, y también la del cometa Halley. Para ello hagan clic en el siguiente vínculo .
Actividad 2: Las cónicas en la arquitectura y la escultura
Pídanles a sus alumnos que se agrupen de a dos (si el número de alumnos es impar, que se forme un grupo de tres). Pueden guiarlos y permitir que discutan e intercambien opiniones entre ellos.
Recursos de trabajo: Impress (programa para manipular diapositivas) y un pendrive (cualquier dispositivo de almacenamiento portátil) por alumno.
- Busquen en Internet, o en otras fuentes, información e imágenes de obras de arquitectura y escultura que presenten cónicas en su diseño. Entre muchos otros, pueden ver estos ejemplos:
- Iglesia La Esperanza de María en la Resurrección del Señor, de México.
- The Priory Chapel, de Saint Louis.
- James S. McDonnell Planetarium, de Saint Louis.
- Librería Nacional de Kazan, capital de la República de Tatarstan, Rusia.
- Catedral de Brasilia.
- Estructura en el Parque Zabeel, en Dubai (Mishascape arquitectos).
- La nueva torre de control del aeropuerto de Barcelona.
- Teatro Nacional de Pekín, diseñado por Paul Andreu.
- Casa Elipse Natural, en Tokio, Japón, diseñada por el arquitecto Masaki Endoh.
- Ellipse 1501 House, diseñada por Antonino Cardillo.
- Escultura Cloud Gate de Anish Kapoor en el Parque del Milenio de Chicago, USA (se pueden ver fotografías haciendo clic aquí).
- Parroquia Santa María de Betania, en la calle Medrano, barrio de Almagro, Ciudad Autónoma de Buenos Aires.
- Elijan los que más les gusten y elaboren una presentación con diapositivas, utilizando el programa para manipular diapositivas, disponible en sus equipos portátiles. Incluyan imágenes y mencionen qué cónicas están presentes en cada caso. Pueden agregar “efectos especiales” como movimientos y sonidos. Consulten con su docente si hay una cantidad máxima de diapositivas por presentación.
- Guarden la presentación con sus nombres en sus equipos portátiles y en el servidor.
Cierre de la actividad 2
1) Cada alumno utilizará un pendrive para guardar en su equipo portátil las presentaciones de los otros grupos, así podrán compartir las producciones de todos. De ser posible, proyecten las presentaciones en una pantalla para verlas en conjunto.
Actividad 3: Cónicas con luces y sombras
Pídanles a sus alumnos que se agrupen de a tres o cuatro. Pueden guiarlos y permitir que discutan e intercambien opiniones y estrategias entre ellos.
Materiales necesarios para el trabajo:
- Un velador cuya pantalla tenga forma de cono truncado.
- Una linterna.
- Una esfera.
- Cámara de fotos.
1) Lean esta nota publicada en el blog Pseudópodo
Cónicas en el hotel, por Pseudópodo
Este verano dormí una noche en un hotel y me encontré esto:
Había visto infinidad de veces la sombra que proyecta la tulipa de una lámpara sobre la pared, pero nunca se me había ocurrido que esa sombra tiene una forma matemática muy sencilla y elegante: es una hipérbola. En efecto, la abertura de la tulipa, al tener forma circular, define junto con el filamento de la bombilla un cono de luz. Cuando la lámpara está vertical, su eje es paralelo al de la pared. Y la intersección de un cono con un plano paralelo a su eje, como demostró Apolonio de Perga, es una hipérbola.
Apolonio demostró también que variando la inclinación del plano obtenemos otras curvas, que reciben el nombre de secciones cónicas: la parábola, cuando inclinamos el plano hasta que queda paralelo a la generatriz del cono, y la elipse, cuando lo inclinamos más aún (un caso particular es la circunferencia, cuando el plano es perpendicular al eje del cono).
En el hotel no podía inclinar la pared, pero sí la lámpara. Estos son mis intentos de conseguir una parábola y una elipse:
Lo que no entiendo es cómo pudo Apolonio hacer su descubrimiento sin bombilla, lámpara, ni hotel. Eso demuestra que era un genio.
2) Organícense para reproducir la experiencia con un velador sobre la pared. Saquen fotos que muestren cada una de las cónicas logradas y guárdenlas en sus equipos portátiles.
3) Iluminen una esfera con una linterna de modo que la sombra tenga forma de circunferencia, elipse, parábola e hipérbola, como se ve en estas imágenes extraídas de la presentación Rodeados por las cónicas.
4) Saquen fotos de cada uno de los 4 momentos y guárdenlas en sus equipos portátiles.
Cierre de la actividad 3
Cada grupo elegirá sus mejores fotos, las imprimirá y entre todos armarán una cartelera para exponerlas. Pueden ponerle como título Cónicas con luces y sombras, u otro que les parezca adecuado.
Actividad de cierre final: Concurso de fotografía
Indíquenles a sus alumnos que van a organizar un concurso de fotografía en las que podrán verse imágenes de cónicas.
El propósito es que puedan tener una mirada diferente y atenta después de haber trabajado con este recurso, y que logren descubrir en su entorno imágenes que responden a modelos matemáticos.
Para ello, deberán organizarse para establecer y redactar las bases del concurso.
En este sentido, sugiéranles que mencionen:
1. Objetivo del concurso (por ejemplo, que los participantes logren captar en sus fotografías la presencia de las cónicas en su entorno natural).
2. Cantidad de fotografías que puede presentar cada concursante (en color o en blanco y negro), el formato (puede ser libre, sin restricciones de tamaño o resolución) y que cada fotografía debe tener un título que haga referencia al concepto o noción matemática que está presente. Que se establezca cuántas de las fotografías presentadas por cada concursante deben contener imágenes de cónicas, si es que deciden ampliar el criterio e incluir imágenes relacionadas con otros conceptos matemáticos).
3. Quiénes pueden participar del concurso (podría ser que se invite a alumnos de otros cursos, a docentes y personal no docente, a familiares, etcétera).
4. El plazo (indicar hasta qué fecha se recibirán los trabajos).
5. Cómo estará conformado el jurado y en qué fecha deberá expedirse.
6. Los premios (por ejemplo, puede haber 1.º, 2.º y 3.er puesto, y dos menciones especiales; también se pueden premiar por un lado las fotografías en blanco y negro, y por otro, las de color).
7. La exposición (se podría organizar una cartelera con las fotografías premiadas impresas y, además, una cartelera virtual alojada en el servidor de la escuela que podría contener todas las fotografías que concursaron).
Enlaces de interés y utilidad para el trabajo
Ejemplos del concurso de fotografía matemática organizado por la Fundación Com-Partida, de Uruguay, y una entrevista a Pilar Moreno, profesora de Matemática de secundaria, que utiliza la fotografía como recurso.
Concurso de Fotografía Matemática
IX Concurso de Fotografía Matemática. Universidad Antonio de Nebrija
Exposición IV concurso de fotografía “Matemáticas a la vista”