"Asombrarse es la esencia de la vida". (M.C.Escher)
Hay muchas maneras de acercarnos a la matemática pero en general resultan aburridas o incomprensibles o, en cierta manera, nos hacen sentir frustrados. A veces nos vemos a nosotros mismos como improvisados Quijotes en el intento improbable de encontrarle la vuelta a los molinos de sus engranajes: vientos de fórmulas, geometrías que nos soplan desde los ángulos más inesperados y espeluznantes teoremas que amenazan con empujarnos de la montura de nuestro entendimiento. ¿Será que la matemática es en verdad una caja negra herméticamente cerrada cuyo misterio nos está negado descubrir?
¡¡¡¡Noooooooooooooooooo!!! La matemática posee una belleza tan especial y extraordinaria que es necesario aproximarse a ella de modos no convencionales, sutiles, más desestructurados y lúdicos. A quienes así lo hicieron se les abrió una multiplicidad de mundos asombrosa. Una de las personas que atravesó el alma de la matemática a través del arte para crear obras únicas fue M. C. Escher. Los dibujos, los ensayos y desarrollos artísticos, las pinturas, los grabados y toda la producción de este genial artista holandés nos señalan -si estamos dispuestos a jugar, indagar, observar, investigar y entregarnos a las paradojas- incitantes caminos de descubrimiento.
¿Qué tal sin ensayamos una nueva mirada y le tomamos el gusto a la otra matemática? Esa matemática despojada de los prejuicios y tabúes, la que está emparentada con todas las cosas de nuestra vida cotidiana; la que percibimos, usamos y practicamos todos los días intuitivamente sin saberlo.
---Como complemento de este recurso sobre Escher recomendamos ver también Al fin matemáticas sin fórmulas ---
El buen señor Escher observaba y hallaba patrones de diseño en el piso de un patio, en los árboles de un bosque, en la alineación de una bandada de pájaros que pasaba volando y en todos y cada uno de los detalles más comunes de la vida cotidiana. Porque para Escher era precisamente en la vida donde pasaban las cosas. A él no le interesaban las teorías, los ámbitos académicos ni las evaluaciones ni los currículums, ni los programas de las materias ni los ciclos escolares. A él le interesaba pescar la poesía de los patrones matemáticos con su lápiz / pincel / red.
Escher sintió con sus manos de artista inquieto qué significaba la fractalidad y fabricó hermosos caleidoscopios y teselaciones. Entendió estéticamente los atributos de los ángulos sin recitar como loro teoremas llenos de catetos. Ni hablar de comprender las dimensiones, los espacios y las transformaciones geométricas, de fabricar tablas de datos sabiendo lo que hacía, emocionándose al vislumbrar tendencias.
Tocó con su imaginación y sus creaciones -como si fueran instrumentos musicales- las repeticiones rítmicas de los patrones y de las metamorfosis. Combinó figuras geométricas, hizo miles de rotaciones, recreó paradojas de escaleras que suben y bajan al mismo tiempo. Manipuló objetos a su antojo y exploró los sólidos platónicos con la intuición y el plástico.
Álbum de obras de Escher en Flickr
Existe un espejo mágico como el que vemos a continuación:
En el borde del espejo, inmediatamente debajo del listón torcido, vemos la punta de una pequeña ala y su reflejo. Si miramos a lo largo del espejo, comprobaremos que se va transformando en un perro con alas y su reflejo. Una vez aceptada la posibilidad de semejantes alas, acabaremos por creer el resto de la historia. Tan pronto como el perro real -a la derecha del espejo- se pone en marcha en esa misma dirección, su reflejo se moverá en la dirección opuesta. Sin embargo, el reflejo parece tan real que en nada nos sorprende verlo correr detrás del espejo. Perros con alas evolucionan a la derecha y a la izquierda, duplicándose dos veces en el trayecto. Luego avanzan unos contra otros como dos ejércitos. Pero antes de que se encuentren, se habrán convertido en motivos decorativos de un piso embaldosado. Si examinamos de cerca estos motivos, veremos que los perros se vuelven blancos en el momento de cruzar el límite que forma el espejo, viniendo a ocupar los huecos existentes entre los perros que no han mudado de color. Los perros blancos desaparecen y al final no queda ningún rastro de ellos. Al parecer, nunca existieron. Después de todo nunca se han visto nacer perros voladores de un espejo. Pero...es un hecho que frente al espejo también hay una esfera, incluso podemos ver parte de su reflejo en el espejo. Y como si esto fuera poco, vemos claramente otra esfera detrás del espejo rodeada por perros alados.
¿Quién es el hombre que creó semejante espejo? ¿Se imaginan? Por supuesto... Don Escher.
El día y la noche según Escher...
Este grabado en madera de 1939, se considera uno de los dibujos más admirados y reproducidos del artista, y es ciertamente bello por su sencillez y elegancia. Incluye varios detalles interesantes, como son la combinación en forma de patrón de pájaros blancos y negros que vuelan en direcciones opuestas y rellenan el plano sin huecos, la metamorfosis delicada pero rápida de las aves a sembrados en la escena general y el hecho de que las dos zonas, izquierda y derecha, una de día y la otra de noche, correspondan exactamente al mismo lugar. Un montón de dualidades, genialmente resueltas, en la misma escena.
Maurits Cornelis Escher nació en Holanda en 1898 y en su juventud estudió en la Escuela de Arquitectura y Diseño Ornamental de la ciudad de Haarlem. A lo largo de su vida viajó por toda Europa y residió en Italia, Suiza y Bélgica. Murió en su país natal en 1972, momento en el que el reconocimiento de su obra comenzaba a adquirir carácter global. Hoy en día su obra es mundialmente conocida y aparece en multitud de lugares, desde camisetas a portadas de libros científicos. Gran cantidad de gente conoce los grabados y litografías de Escher, aunque muchos menos podrían señalar quién es su autor.
Dos links con homenajes a la obra de Escher
El arte de Escher entra de lleno en el concepto de "arte matemático": un artista figurativo que sepa algo de matemáticas puede hacer una composición sobre un tema matemático de la misma manera que los artistas del Renacimiento lo hicieron con los temas religiosos o los artistas rusos con los temas políticos. Escher ha escrito: "Con frecuencia me siento más próximo a los matemáticos que a mis colegas los artistas". A pesar de ello, Escher no poseía unos estudios matemáticos extensos ni completos. Prefería decir: "Todos mis trabajos son juegos. Juegos serios". Sus obras cuelgan en los despachos de matemáticos y científicos de todo el mundo.
En muchas de sus obras podemos encontrar aspectos surrealistas, extraños, pero sus cuadros no son fantasías oníricas como las de Dalí o Magritte, son más bien observaciones filosóficas y racionales sobre el misterio, el absurdo y el terror de nuestro mundo.
Breve documental sobre Escher y su obra
Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana. Cumple con dos requisitos: que no queden huecos y que no se superpongan las figuras. Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. Escher admiraba profundamente las teselaciones del complejo palaciego Alhambra, de Granada, España, y dedicó muchos años de su vida a la creación de diferentes series de teselaciones.
Sin duda la parte fundamental de la obra de Escher la constituye la división regular del plano. Era su principal obsesión y forma parte, de una manera o de otra, de la mayoría de sus producciones. Desglosando el plano en figuras de pájaros, peces, reptiles y figuras humanas, como en un rompecabezas, Escher ha logrado incorporar muchas de sus divisiones del plano en composiciones memorables: los mosaicos escherianos.
Para comprender qué son las teselaciones pueden mirar estos videoclips:
http://www.youtube.com/watch?v=wT6B9idq-Go&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=QxUb7qlDK2U&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=RY5-5zpOMxc&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=1jnMRpgJrCY&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=_B1ibuXTUaQ&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=X1S8JF42hmg&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=SkwyuOIBAS0&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=Qd4c4U10L7A&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=xf-4eirNKj0&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=xJYY8v2pNw8&feature=related
Otra de las categorías de las figuras de Escher, y sin duda aquella que sorprende más al que conoce su obra por primera vez, la constituyen aquellas obras en las que juega con las leyes de la perspectiva para obtener lo que se ha denominado mundos imposibles, imágenes que desafían la realidad tal como la conocemos y que la mente se niega a aceptar por mucho que las contemple.
Mirar el link a un clip cuyo protagonista es un personaje animado que recorre espacios y escaleras de inspiración escheriana:
http://www.youtube.com/watch?v=PI-b9ye4RqY&feature=related
Un tema más, presente en muchas de las obras de Escher es la relación entre lo plano y lo espacial. Cuando dibujamos, lo hacemos sobre un medio plano, bidimensional, como es el papel. En cambio lo utilizamos para representar imagenes que son espaciales, tridimensionales. Escher utiliza esta dualidad para crear algunas imagenes paradójicas absolutamente desconcertantes.
Por ejemplo, esta litografía de Escher de 1948 es tan sencilla como lo que se ve a simple vista: dos manos que surgen de la bidimensionalidad del papel a las tres dimensiones de la «realidad». Pero cada mano está está dibujando a la otra, de modo que el efecto causa confusión en el observador. Irónicamente, ambas ni están en tres dimensiones, ni existen por sí mismas, sino que habitan en un dibujo plano y fueron creadas por una única mano, mucho más experta, desde el exterior de la escena. La de M.C. Escher.
Ver "Eschermanía, galería de imágenes"
Entre algunas de las otras obsesiones de Escher podemos citar el orden y el caos, lo infinito, las esferas reflectantes y otros temas que podemos encontrar en muchas de sus obras.
Video Serpientes inspirado en la obra de Escher
Animación inspirada en los dibujos y diseños de Escher
Luego de ver y recorrer los paisajes escherianos sugerimos leer algunos textos breves de Jorge Luis Borges en los que pueden hallarse y sondearse temas y conceptos que Escher ha plasmado en el papel: los laberintos, la circularidad, los mundos paralelos, etc.
A propósito de los laberintos de Borges y Escher...
Mirar este link a un fragmento del film "Laberinto" basado en los dibujos y conceptos de Escher:
http://www.youtube.com/watch?v=rX917y1Ly8o&feature=related
Esta litografía de 1956 era una de las obras de las que Escher estaba más orgulloso, aunque no es de las más conocidas. Es un juego a modo de ciclo con las perspectivas y las ampliaciones. Un hombre está mirando un cuadro. La imagen comienza a ampliarse y deformarse, pero manteniendo cierta coherencia visual que permite seguirla paso a paso sin interrupción aparente. El cuadro se transforma en los edificios del puerto de una ciudad costera -el puerto de Senglea, en Malta- uno de los cuales resulta ser una galería de cuadros donde vuelve a aparecer el protagonista. Se puede calcular que la imagen original queda ampliada 256 veces. En los detalles de la galería aparecen otros cuadros, pequeñas reproducciones de obras del propio Escher.
Explicación detallada del efecto Droste con dibujos y notas
http://juegosdeingenio.org/archivo/718
Galería de fotos con efecto Droste de Escher
http://www.flickr.com/photos/joshsommers/sets/72157594405
604955/
Efecto Droste en video
http://www.youtube.com/watch?v=fQd-wVjWXNc&feature=related
Un dibujo, una litografía, una pintura no reflejan solo una imagen sino que abren los mundos que llevan en su interior. Adentrarnos en la obra de M.C. Escher puede brindarnos las herramientas necesarias para abrir esos mundos y disfrutarlos. Las emociones despertadas por las imágenes pueden iluminar la vida real, arrojando cierta claridad sobre la propia vida del que los contempla.
En esta litografía de 1943, Escher hace un salto de «metanivel» para introducir en el dibujo al propio autor como parte de la obra, todo ello delante de los ojos atónitos del espectador. Del cuaderno de Escher en el que ha estado dibujando patrones regulares hexagonales con forma de reptil surge una figura en tres dimensiones. El reptil sube por un libro, llega hasta un dodecaedro platónico, finalmente lanza un soplido y completa el ciclo retornando al papel del que nunca debió haber salido.
Les propongo explorar algunas de las geniales creaciones de Escher y arriesgar -como en un juego- posibles lecturas e interpretaciones de las mismas.
El mural de Escheresque en Flickr - Fotografías alucinantes-
http://www.flickr.com/groups/escher/pool/
Museo Virtual Escher
http://nucleogestion.8m.com/HALL.HTM
Escher recreado con ladrillos Lego
http://www.microsiervos.com/archivo/arte-y-diseno/escher-en-lego.html
http://www.neatorama.com/2006/06/01/mc-escher-in-lego/
Escher y geometría
http://www.youtube.com/watch?v=mnFeiWlSKog&feature=related
Cómo construir figuras geométricas de inspiración escheriana
Galería con obras de Escher (Sitio oficial del artista)
http://www.mcescher.com/Gallery/gallery.htm
La simetría en Escher
http://www.mcescher.com/Gallery/gallery-symmetry.htm
La publicidad del Audi A6 y M.C. Escher
Este es un enlace a una antigua pero interesante publicidad, el anuncio del auto Audi A6 basado en imágenes M.C. Escher, figuras imposibles y algunas variaciones de sus obras y otras escenas sorprendentes. Una bonita combinación artística y de efectos especiales.
http://www.youtube.com/watch?v=KZPorSd246k
Publicidad de café inspirada en Escher
http://www.youtube.com/watch?v=wC9wd-q8x38&feature=related
Galería de imágenes del concurso "M.C. Escher Remix".
http://www.worth1000.com/contest.asp?contest_id=11478&display=photoshop&page=5000#entries
La gente que ha participado del concurso "M.C. Escher Remix" combinó las ilustraciones originales del genial artista de las formas más diversas: dándoles color, mezclando unas con otras, ubicándolas en situaciones más imposibles todavía o modernizándolas un poco, como esta "Mano con Ipod" que es una variante de "Mano con esfera reflectante".
Mano con Ipod
Mano con esfera reflectante
El autorretrato de Escher sobre una esfera reflectante es precioso y a la vez intrigante. En esta obra vuelve a combinar el mundo imaginado del dibujo con el mundo real. Se dibuja a sí mismo sosteniendo una esfera, pero ese dibujo tridimensional que incluye su mano y la esfera-espejo es únicamente tinta sobre un papel plano en realidad. Al menos eso es lo que vemos nosotros. Aunque la esfera parece reflejar a Escher y a la habitación que lo rodea con todo lujo de detalles, en realidad no muestra a Escher dibujando, porque su mano izquierda está apartada. Tal vez Escher está sugiriendo sutilmente que la realidad no es tal y como parece percibirse, y que el mundo que nos rodea está a veces entre lo imaginado y lo real. Esto que puede sonar un poco a Matrix pudo ser precisamente homenajeado en la famosa escena de la «pastilla roja, pastilla azul»: mientras uno de los reflejos de las gafas de Morfeo muestra a Neo levantando la mano, en el otro tiene la mano apartada. Como Escher en su autorretrato.
Luego de ver todos los links con materiales de Escher, elegir algunos dibujos. Cada estudiante observará detenidamente los dibujos y luego comentará su visión de las imágenes. Desde ya, esta actividad demostrará la pluralidad de puntos de vista porque cada individuo no responde de forma igual a otro. Así surgirán discusiones muy interesantes sobre las variaciones. Suele haber una base de acuerdo general y distintas opiniones, comentarios e ideas sobre los componentes de la imagen y aparecen rudimentos de argumentaciones sobre cuáles componentes de la imagen, el dibujo o la obra llaman más la atención y las posibles razones de por qué capturan la mirada. Hay determinados puntos coincidentes entre las personas, puntos que atraen o subyugan más que otros.
En Escaleras arriba y escaleras abajo unos monjes suben y bajan a la vez por la misma estructura del edificio, sin que ninguno de los dos grupos parezca estar haciendo algo distinto a lo que realmente se ve. Sin embargo, ese ascenso o descenso infinito es claramente imposible, aunque el espectador no puede encontrar la inconsistencia por mucho que mire la imagen. ¿Qué sucedería de lanzar una pelota escaleras abajo? Esta idea está basada en el modelo de escalera imposible creado por Roger Penrose junto con su padre. Penrose es un físico y matemático británico que también exploró el mundo de los objetos imposibles y la partición regular e irregular del plano.
Les sugiero una guía para encauzar la mirada:
Modelo de guía optativa para ayudar en la observación/exploración de los diversos dibujos, litografías y diseños
1- Después de observar la imagen como un todo, volvé al punto de partida. ¿Por qué te dirigiste a ese punto en particular? Tratá de explicar qué hay allí que te indujo a detener tu mirada. (Las razones más comunes son las siguientes: es el punto de más luminosidad o es el lugar más oscuro de una composición o hay una zona de color muy llamativo o un determinado cruce de líneas o formas atraen la vista porque crean un punto focal).
2- Cuando separaste la vista de este punto de atracción inicial ¿qué camino siguió tu mirada sobre la imagen? (Este desplazamiento sobre la imagen se produce, generalmente, a lo largo de líneas, quizás líneas reales como las de una cerca en la pintura o un brazo extendido en un dibujo o líneas de visión de un personaje que mira algo o alguien, etc. Hay ocasiones en que la vista se limita a desplazarse a otra área importante de la composición y va de un área organizada a otra saltando a través de la "desorganización" que existe entre medio).
3- ¿Qué cantidad de movimiento hizo tu vista antes de volver a su punto de partida?
4- ¿Qué es lo que atrajo tu vista a cada nuevo lugar de la imagen?
(Los puntos 3 y 4 dan una idea de la fuerza de atracción que ejercen determinados elementos de la imagen).
5- Si trazás una línea imaginaria sobre la imagen, según la ruta que siguió tu vista, ¿cuál sería la forma aproximada?
(Hay veces que será un esquema circular, otras un triángulo o una elipse. Aún cuando se pueden dar formas muy variadas, cualquiera de las formas nos puede servir de sugerencia para que organicemos la composición de una u otra manera, superando así la idea dominante y poco feliz de que cada imagen "dice obligatoriamente determinada historia".)
6- ¿Hay algunos lugares de tu línea imaginaria que parecen estar cargados de una energía especial?
(Este caso se da con mayor frecuencia en las líneas de visión, como las que van desde los ojos de un personaje hacia otro o hacia un horizonte o ciertas acciones dentro de la imagen como vuelos, caídas, trabajos, etc).
7- ¿Cómo describirías o caracterizarías al "movimiento interno" de la imagen, ya sea una pintura o un dibujo? En otras palabras, ¿qué te sugiere: texturas que se repiten, formas geométricas, remolinos, velocidad, ráfagas, caídas hacia adentro, sensación de desniveles, alturas, lentitud como de cámara lenta, estados de ánimo, fluidos, pegajosidad, clima, movimientos humanos o animales?
(Hacer la "traducción´ de un medio a otro, en este caso de lo visual y sensorial a lo verbal, siempre ayuda a liberar la imaginación.).
8- ¿Cómo se sugiere la profundidad en la imagen? (Esto ayuda a imaginar otras dimensiones en una imagen que es plana).
9 - ¿Cuál es la expresión facial o el lenguaje corporal de los personajes humanos, animales o fantásticos que aparecen en los dibujos y pinturas? (Esto permite desarrollar el "tejido social" o la lógica interna de las situaciones y de las relaciones que se dan dentro de la imagen: violencia, amor, tranquilidad, expectativa, dominancia, paridad, autoridad, sumisión, temor, alegría, etc.).
De los dibujos, pinturas, desarrollos y paradojas de Escher es posible aprender intuitivamente mucha matemática y dejarse hechizar por ella para luego emprender una búsqueda e investigación un poco más profunda.
Así surgirán términos como:
Orden / Caos / Simetría / Asimetría / Cóncavo / Convexo / Ascendente / Descendente / Infinito / Finito / Repetición / Mosaicos / División del plano / Puzzle / Circularidad / Rotaciones / Ángulos / Series / Patrones / Fractales / Estructuras / Ciclos / Perspectiva / Ilusiones ópticas / Multilinealidad / Traslaciones / Cristales / Mundos simultáneos / Superficie / Espacio / Laberintos / Metamorfosis / Bidimensionalidad / Tridimensionalidad
Cada uno de estos términos -y muchos otros más que descubrirán solos- despliega un abanico de posibilidades para continuar explorando.
¿¿Qué esperan para comenzar?? ¡¡¡ADELANTE ESCHERIANOS !!!!
¿FIN?...
Como la imaginación y la matemática son infinitas les dejamos este enlace a un texto complementario para seguir indagando
¿Por qué no se caen los balcones? Al fin matemáticas sin fórmulas