1
00:00:00,280 --> 00:00:03,880
[Música suave]

2
00:00:03,960 --> 00:00:05,680
(Adrián Paenza)
<i>A lo largo de la historia,</i>

3
00:00:05,760 --> 00:00:09,440
<i>el hombre ha sentido la necesidad</i>
<i>de ocultar información.</i>

4
00:00:10,240 --> 00:00:13,680
<i>Incluso existen ejemplos bíblicos</i>
<i>de esta afirmación,</i>

5
00:00:13,760 --> 00:00:16,160
<i>como las marcas</i>
<i>con sangre de cordero</i>

6
00:00:16,240 --> 00:00:19,120
<i>que los judíos esclavos</i>
<i>hicieron en sus casas,</i>

7
00:00:19,200 --> 00:00:20,760
<i>esto sucedía en Egipto,</i>

8
00:00:20,840 --> 00:00:23,000
<i>para evitar</i>
<i>la muerte de su primogénito.</i>

9
00:00:24,280 --> 00:00:28,240
<i>Los judíos sabían que por esas casas</i>
<i>no pasaría la plaga.</i>

10
00:00:28,920 --> 00:00:32,360
<i>Esto es ni más ni menos</i>
<i>que un mensaje encriptado</i>

11
00:00:33,040 --> 00:00:36,920
<i>y no se puede pensar la criptografía</i>
<i>sin asociarla a la seguridad.</i>

12
00:00:37,720 --> 00:00:39,720
<i>Dormirse con la tranquilidad</i>
<i>de estar</i>

13
00:00:39,800 --> 00:00:42,200
<i>ante un sistema criptográfico</i>
<i>infalible</i>

14
00:00:42,280 --> 00:00:44,840
<i>puede traer muchísimos</i>
<i>dolores de cabeza.</i>

15
00:00:45,560 --> 00:00:48,680
<i>Como se los trajo al secretario</i>
<i>alemán de asuntos exteriores,</i>

16
00:00:48,760 --> 00:00:50,480
<i>Arthur Zimmerman,</i>

17
00:00:50,560 --> 00:00:54,120
<i>quien, en el año 1917,</i>
<i>envió un telegrama</i>

18
00:00:54,200 --> 00:00:56,880
<i>en el que se instruía</i>
<i>al embajador en México</i>

19
00:00:56,960 --> 00:00:59,600
<i>para que intentara formar</i>
<i>una alianza.</i>

20
00:00:59,800 --> 00:01:02,280
<i>El telegrama cifrado</i>
<i>fue interceptado,</i>

21
00:01:02,360 --> 00:01:04,320
<i>lo que precipitó el ingreso</i>
<i>de Estados Unidos</i>

22
00:01:04,400 --> 00:01:06,200
<i>a la Primera Guerra Mundial</i>

23
00:01:06,280 --> 00:01:08,040
<i>y también la derrota alemana.</i>

24
00:01:08,480 --> 00:01:12,240
<i>Hoy en día no se puede pensar</i>
<i>el mundo financiero</i>

25
00:01:12,320 --> 00:01:14,280
<i>sin pensar en la criptografía.</i>

26
00:01:15,600 --> 00:01:19,480
<i>Los movimientos interbancarios,</i>
<i>las compras electrónicas</i>

27
00:01:19,560 --> 00:01:22,880
<i>y los envíos de datos secretos</i>
<i>pueden ser seguros</i>

28
00:01:22,960 --> 00:01:24,760
<i>gracias a la criptografía.</i>

29
00:01:26,160 --> 00:01:29,160
<i>Es decir, gracias a la seguridad</i>

30
00:01:29,240 --> 00:01:31,640
<i>que a veces pueden dar</i>
<i>las matemáticas.</i>

31
00:01:33,560 --> 00:01:36,560
[Música suave]

32
00:01:38,160 --> 00:01:44,160
[Música de presentación]

33
00:02:10,480 --> 00:02:13,600
[Aplausos]

34
00:02:13,680 --> 00:02:15,400
¿Qué tal? ¿Cómo les va?

35
00:02:17,440 --> 00:02:18,640
Bienvenidos.

36
00:02:19,880 --> 00:02:22,320
Bienvenidos a "Alterados por pi".

37
00:02:22,400 --> 00:02:24,240
Bienvenidos al canal Encuentro.

38
00:02:24,320 --> 00:02:27,560
Esta es la tercera temporada
que hacemos este programa.

39
00:02:27,640 --> 00:02:30,160
Es todo un milagro que uno haga
un programa de televisión

40
00:02:30,240 --> 00:02:32,360
de matemática
y que, además dure,

41
00:02:32,440 --> 00:02:34,760
lo cual es notable,
así que gracias a todos ustedes

42
00:02:34,840 --> 00:02:35,960
y, en particular, también a la gente

43
00:02:36,040 --> 00:02:38,120
que está mirando el programa
por televisión.

44
00:02:38,200 --> 00:02:40,840
Bueno, el hecho es que hoy
vamos a hablar de criptografía.

45
00:02:40,920 --> 00:02:42,240
Entonces, estaba pensando--

46
00:02:42,320 --> 00:02:45,800
A propósito de los secretos
que cada persona tiene,

47
00:02:45,880 --> 00:02:48,040
yo me quedé pensando
qué secretos tiene cada uno.

48
00:02:48,120 --> 00:02:50,080
Es seguro que cada uno
de nosotros piensa

49
00:02:50,160 --> 00:02:52,360
porque, si no hubiera problemas
con tener secretos,

50
00:02:52,440 --> 00:02:55,120
todo el mundo podría hablar
y decir todo lo que piensa

51
00:02:55,200 --> 00:02:57,160
y uno no dice todo el tiempo
todo lo que piensa

52
00:02:57,240 --> 00:02:59,360
porque se armarían
unos líos bárbaros, ¿no?

53
00:02:59,440 --> 00:03:01,040
La señora me hace así
como diciéndome:

54
00:03:01,120 --> 00:03:03,840
"Menos mal que no digo lo que pienso
de lo que está diciendo usted".

55
00:03:03,920 --> 00:03:07,880
Pero, al margen de eso,
uno, en realidad, por ejemplo,

56
00:03:07,960 --> 00:03:11,480
tiene un secreto cuando tiene
una cuenta de correo electrónico,

57
00:03:11,560 --> 00:03:13,960
tiene un "password",
tiene una clave para entrar

58
00:03:14,040 --> 00:03:18,280
o, cuando uno retira dinero
de un cajero automático,

59
00:03:18,360 --> 00:03:20,360
está poniendo un número de PIN.

60
00:03:20,440 --> 00:03:22,840
En definitiva,
estamos llenos de secretos,

61
00:03:22,920 --> 00:03:25,240
pero, al margen de los secretos
que uno quiere proteger,

62
00:03:25,320 --> 00:03:27,040
algunas veces los quiere compartir,

63
00:03:27,120 --> 00:03:28,880
pero los quiere compartir
y no con todo el mundo.

64
00:03:28,960 --> 00:03:31,440
Yo puedo hacer una réplica
de la llave que tengo

65
00:03:31,520 --> 00:03:32,560
para entrar a mi casa

66
00:03:32,640 --> 00:03:34,640
y la comparto con la gente
que está.

67
00:03:34,720 --> 00:03:39,520
La criptografía, en algún sentido,
es una manera de poder enmascarar

68
00:03:39,600 --> 00:03:41,400
si yo quiero compartir
algo con alguien,

69
00:03:41,480 --> 00:03:42,960
le quiero mandar un mensaje
a alguien,

70
00:03:43,040 --> 00:03:44,720
se lo quiero mandar al joven
que está sentado acá

71
00:03:44,800 --> 00:03:45,880
en la primera fila.

72
00:03:45,960 --> 00:03:47,480
Si lo tengo cerca, le hablo.

73
00:03:47,560 --> 00:03:49,080
Si no hay micrófonos,

74
00:03:49,160 --> 00:03:51,200
nadie más que nosotros dos
va a escuchar,

75
00:03:51,280 --> 00:03:54,440
pero, al contrario, supongamos
que estamos a una cierta distancia,

76
00:03:54,520 --> 00:03:56,320
yo le quiero mandar un mensaje

77
00:03:56,400 --> 00:03:58,520
y el mensaje es sensible,

78
00:03:58,600 --> 00:04:01,840
me importa que mandárselo
sea algo privado,

79
00:04:01,920 --> 00:04:04,520
o sea que, si alguien lo intercepta
en el camino--

80
00:04:04,600 --> 00:04:07,120
Si fuera todo normal
y viviéramos en Disneylandia,

81
00:04:07,200 --> 00:04:08,920
nadie interceptaría nada,

82
00:04:09,000 --> 00:04:11,160
pero el hecho es
que yo le quiero mandar un mensaje

83
00:04:11,240 --> 00:04:14,200
de manera tal que, si alguien
lo llega a interceptar,

84
00:04:14,280 --> 00:04:17,280
de todas maneras, aunque lo lea,
no lo entienda.

85
00:04:17,360 --> 00:04:19,400
Y, por otro lado, no solamente eso,

86
00:04:19,480 --> 00:04:22,280
yo quiero que, si alguien
lo interceptó, lo cambió,

87
00:04:22,360 --> 00:04:25,600
que él tenga la alternativa de saber
que fui yo el que se lo mandé.

88
00:04:25,680 --> 00:04:29,280
Bueno, la matemática tiene una rama
que se llama "criptografía",

89
00:04:29,360 --> 00:04:31,800
que significa tratar de encriptar.

90
00:04:31,880 --> 00:04:35,080
Ahora, encriptar sería
como codificar, enmascarar.

91
00:04:35,200 --> 00:04:39,360
Para eso la criptografía
lo que hace es producir algoritmos.

92
00:04:39,440 --> 00:04:43,360
Algoritmos son procesos
que van un paso, otro paso

93
00:04:43,440 --> 00:04:45,880
y que van diciendo: "Hay que hacer
esto, hay que hacer esto".

94
00:04:45,960 --> 00:04:48,880
Y hay varios procesos
para enmascarar

95
00:04:48,960 --> 00:04:50,920
de los que quiero hablar
en este momento.

96
00:04:51,000 --> 00:04:52,840
Vamos a empezar por alguno de ellos.

97
00:04:52,920 --> 00:04:55,640
En principio, lo que voy a hacer
es contarles una historia

98
00:04:55,720 --> 00:04:56,760
que tiene que ver--

99
00:04:56,840 --> 00:04:58,960
Porque hay dos tipos
de formas de encriptar.

100
00:04:59,040 --> 00:05:01,560
Hay una forma
que se llama "simétrica",

101
00:05:01,640 --> 00:05:03,320
en donde la clave,

102
00:05:03,400 --> 00:05:06,720
tanto para encriptar
como para desencriptar, es la misma

103
00:05:06,800 --> 00:05:10,280
y otras que se llaman "asimétricas",
en donde no es lo mismo.

104
00:05:10,360 --> 00:05:13,440
No es lo mismo el que encripta
que el que desencripta,

105
00:05:13,520 --> 00:05:15,960
en realidad,
hay dos maneras diferentes,

106
00:05:16,040 --> 00:05:17,880
como si hubiera
dos claves distintas.

107
00:05:17,960 --> 00:05:20,000
Pero vamos a empezar
con los métodos simétricos.

108
00:05:20,080 --> 00:05:21,120
El primero es este

109
00:05:21,200 --> 00:05:22,520
y ahora les quiero contar
de qué se trata

110
00:05:22,600 --> 00:05:24,520
y después lo miramos en la rueda.

111
00:05:24,600 --> 00:05:27,160
Supongamos que uno tiene
todas las letras del alfabeto

112
00:05:27,240 --> 00:05:29,800
y voy a incluir a la "ch"
y a la "ll".

113
00:05:29,880 --> 00:05:31,840
Uno tiene todas las letras
del alfabeto.

114
00:05:31,920 --> 00:05:34,080
Y yo lo que voy a hacer
–miren qué sencillo–

115
00:05:34,160 --> 00:05:37,960
es agarrar y correr,
por ejemplo, diez lugares.

116
00:05:38,720 --> 00:05:40,400
Entonces, ¿ven por ejemplo--?

117
00:05:40,480 --> 00:05:43,320
Ahí, donde está la letra "a"
yo le puse un número,

118
00:05:43,400 --> 00:05:45,880
<i>pero supongamos que yo</i>
<i>voy a correr todo--</i>

119
00:05:45,960 --> 00:05:47,640
Quiero mandar un mensaje

120
00:05:47,720 --> 00:05:50,680
y supongamos que a la letra "a",
cada vez que aparezca la letra "a",

121
00:05:50,760 --> 00:05:52,560
la voy a correr diez lugares.

122
00:05:52,640 --> 00:05:54,600
Entonces la letra "a"
va a ir a parar,

123
00:05:54,680 --> 00:05:56,560
<i>si la corro diez lugares,</i>
<i>cero más diez,</i>

124
00:05:56,640 --> 00:05:58,040
<i>va a ir a parar a una "j".</i>

125
00:05:58,120 --> 00:06:00,640
<i>Entonces, cada vez que aparezca</i>
<i>una "a" voy a poner una "j".</i>

126
00:06:00,720 --> 00:06:03,600
<i>Cada vez que aparezca una "b",</i>
<i>voy a poner una "k"</i>

127
00:06:03,680 --> 00:06:06,680
<i>y, si yo quiero poner</i>
<i>por ejemplo una "v"...</i>

128
00:06:07,520 --> 00:06:08,760
(Voz de mujer)
<i>Empezamos a contar.</i>

129
00:06:08,840 --> 00:06:10,320
Entonces, ¿qué habría que hacer?

130
00:06:10,400 --> 00:06:12,840
Una "v", lo voy a mover de acá.

131
00:06:12,920 --> 00:06:15,120
Una "v", que está acá.

132
00:06:15,960 --> 00:06:18,560
Entonces, fíjense lo siguiente:
¿la "v" qué tendría--?

133
00:06:18,640 --> 00:06:24,240
Si le sumo diez, me fui, me pasé,
estaría en treinta y cuatro.

134
00:06:24,320 --> 00:06:26,640
Pero treinta y cuatro,
como si esto fuera circular,

135
00:06:26,720 --> 00:06:29,560
cuento una, dos, tres, cuatro,

136
00:06:29,640 --> 00:06:33,920
cinco, seis, siete, ocho,
nueve y diez.

137
00:06:34,000 --> 00:06:35,720
-¿Era esperable que pasara esto?
-Sí.

138
00:06:35,800 --> 00:06:37,640
Porque es como si fuera circular.

139
00:06:37,720 --> 00:06:39,480
Entonces, ahora vamos a hacer
lo siguiente:

140
00:06:39,560 --> 00:06:41,320
mirando esto que hice acá,

141
00:06:41,400 --> 00:06:45,320
vamos a tratar de desencriptar
la frase que está ahí

142
00:06:45,400 --> 00:06:49,040
sabiendo que yo la encripté
sumándole diez.

143
00:06:49,120 --> 00:06:51,680
Para desencriptar,
¿qué hay que hacer ahora?

144
00:06:52,320 --> 00:06:55,840
Hay que restar diez,
entonces, lo que tengo que hacer

145
00:06:55,920 --> 00:06:59,640
es de cada una de esas letras
que están ahí restarles diez

146
00:06:59,720 --> 00:07:00,760
y ahí se van a dar cuenta

147
00:07:00,840 --> 00:07:04,240
de qué época
es este tipo de encriptación.

148
00:07:04,360 --> 00:07:09,240
Fíjense. ¿La letra "r", veinte,
adónde pasa ahora?

149
00:07:09,640 --> 00:07:10,680
<i>A la diez.</i>

150
00:07:10,760 --> 00:07:13,080
<i>Entonces, ¿la diez qué es? La "j".</i>

151
00:07:13,840 --> 00:07:16,840
<i>Después, el número cuatro,</i>
<i>cuando le resto diez--</i>

152
00:07:16,920 --> 00:07:19,560
<i>cuatro menos diez</i>
<i>queda menos seis.</i>

153
00:07:19,640 --> 00:07:23,440
Como hay veintinueve letras,
¿qué número es?

154
00:07:23,520 --> 00:07:26,920
Es el número veintitrés,
entonces, va a quedar la "u".

155
00:07:27,440 --> 00:07:30,120
<i>Después, a la veintidós</i>
<i>cuando le resto diez...</i>

156
00:07:30,320 --> 00:07:31,360
[Murmullos]

157
00:07:31,440 --> 00:07:33,880
<i>Queda doce,</i>
<i>entonces, es la letra "l".</i>

158
00:07:35,200 --> 00:07:38,920
La diecinueve le resto diez
es nueve, que es la letra "i".

159
00:07:39,000 --> 00:07:40,600
<i>La veintisiete le resto diez,</i>

160
00:07:40,680 --> 00:07:43,240
<i>queda diecisiete,</i>
<i>que es la letra "o".</i>

161
00:07:43,320 --> 00:07:47,320
<i>Miren lo que pasa, ahora la "l"</i>
<i>pasa a la número dos, que es "c".</i>

162
00:07:47,400 --> 00:07:49,800
<i>La quince, que pasa</i>
<i>a la número cinco--</i>

163
00:07:49,880 --> 00:07:51,120
Ahora, un momentito.

164
00:07:51,200 --> 00:07:53,640
La número dos,
otra vez para mostrar.

165
00:07:53,720 --> 00:07:56,840
Dos menos diez, menos ocho.

166
00:07:57,120 --> 00:07:59,200
<i>Con veintinueve</i>
<i>va a quedar veintiuno.</i>

167
00:07:59,280 --> 00:08:01,720
<i>Entonces, ¿el veintiuno cuál es?</i>
<i>La "s".</i>

168
00:08:01,800 --> 00:08:03,800
Y ahora queda Julio Ces--

169
00:08:04,040 --> 00:08:05,080
<i>-Sar.</i>
<i>-Sar</i>

170
00:08:05,160 --> 00:08:06,560
<i>¿Se entendió cómo es el método?</i>

171
00:08:06,640 --> 00:08:09,360
Es un método muy primitivo,
un método muy elemental,

172
00:08:09,440 --> 00:08:11,800
pero es un método de encriptación.

173
00:08:12,080 --> 00:08:14,240
Ahora, ¿cómo haría una persona?

174
00:08:14,320 --> 00:08:16,720
Porque ustedes pudieron
hacerlo rápido

175
00:08:16,800 --> 00:08:19,480
porque yo les dije
¿qué cosa a ustedes?

176
00:08:20,240 --> 00:08:22,200
Aparte de mostrar
el mensaje cifrado,

177
00:08:22,280 --> 00:08:24,640
yo les dije a ustedes
que hicieran ¿qué?

178
00:08:25,000 --> 00:08:27,760
Yo les dije que había que--
El número diez les di yo.

179
00:08:27,840 --> 00:08:31,600
Pero, en realidad, les quiero contar
cómo se hace para desencriptar

180
00:08:31,680 --> 00:08:32,960
cuando uno no sabe.

181
00:08:33,040 --> 00:08:36,000
Lo que uno hace es estudiar
una tabla de frecuencias

182
00:08:36,080 --> 00:08:38,120
de las letras en idioma castellano,

183
00:08:38,200 --> 00:08:40,440
sabiendo que el mensaje
yo lo mandé en castellano,

184
00:08:40,520 --> 00:08:42,000
pero fíjense lo que sucede.

185
00:08:42,080 --> 00:08:46,280
<i>La letra "e", por ejemplo, aparece</i>
<i>el trece por ciento de las veces.</i>

186
00:08:46,520 --> 00:08:49,520
<i>La letra "a" un diez</i>
<i>por ciento y pico, la "s"--</i>

187
00:08:49,600 --> 00:08:52,120
O sea, esas son las letras
más frecuentes.

188
00:08:52,200 --> 00:08:54,240
Entonces, uno mirando el mensaje,

189
00:08:54,320 --> 00:08:57,000
puede ver cuáles son las letras
que se repiten más

190
00:08:57,080 --> 00:09:00,400
y, en función de eso,
tener una idea de cómo decodificar.

191
00:09:00,480 --> 00:09:01,840
-¿Me siguen lo que digo?
-Sí.

192
00:09:01,920 --> 00:09:04,040
Este es un método de encriptación.

193
00:09:04,120 --> 00:09:05,920
Ahora quiero contar otro.

194
00:09:06,000 --> 00:09:10,600
Es el método que se llama método
de transposición completa de letras.

195
00:09:11,160 --> 00:09:15,640
Uno elige un número cualquiera,
que no sea de más de nueve dígitos,

196
00:09:15,720 --> 00:09:18,640
por ejemplo, voy a elegir
el número trescientos doce.

197
00:09:19,280 --> 00:09:24,320
Lo que uno hace es escribir
el mensaje y lo va escribiendo.

198
00:09:24,400 --> 00:09:27,600
Supongamos que yo quisiera poner
"Alterados por pi".

199
00:09:27,720 --> 00:09:29,160
Entonces, pondría así:

200
00:09:29,240 --> 00:09:31,280
"al", "te",

201
00:09:33,760 --> 00:09:36,600
"dos", "por", "pi".

202
00:09:38,840 --> 00:09:40,200
Entonces, vamos a ver.

203
00:09:40,280 --> 00:09:43,040
"Alterados por pi", trescientos doce
y miren lo que pasa.

204
00:09:43,120 --> 00:09:45,520
Me dice: "Primero mande esto".

205
00:09:45,600 --> 00:09:49,680
Entonces el mensaje sería
"l", "r", "o", "o", "i".

206
00:09:49,760 --> 00:09:51,880
Esta es la primera palabra

207
00:09:52,400 --> 00:09:56,840
que obtuve poniendo
la primera columna, como dice acá.

208
00:09:57,360 --> 00:09:59,000
Después, la segunda columna,

209
00:09:59,080 --> 00:10:03,280
que es "t", "a", "s", "r".

210
00:10:04,040 --> 00:10:05,480
-¿Me siguen lo que estoy haciendo?
-Sí.

211
00:10:05,560 --> 00:10:08,240
Y la tercera columna es esta,
"a", "e"...

212
00:10:08,600 --> 00:10:10,640
"a", "e", "d", "p", "p".

213
00:10:11,320 --> 00:10:13,760
<i>Entonces, yo a alguien</i>
<i>le mando este mensaje.</i>

214
00:10:14,080 --> 00:10:16,120
Le mando "lrooi',

215
00:10:16,200 --> 00:10:18,760
tasr, Aedpp".

216
00:10:19,000 --> 00:10:22,640
¿El que lo recibe, entonces,
qué es lo que tiene que hacer?

217
00:10:22,720 --> 00:10:25,560
El que lo recibe tiene el número
trescientos doce.

218
00:10:25,800 --> 00:10:27,560
Entonces, escribe--

219
00:10:27,640 --> 00:10:29,680
Primero escribe esta columna.

220
00:10:29,760 --> 00:10:32,040
"L", "r", "o", "o".

221
00:10:32,400 --> 00:10:35,160
Pero tiene el número
trescientos doce, o sabe--

222
00:10:35,240 --> 00:10:37,160
Entonces, pone la primera columna.

223
00:10:37,240 --> 00:10:39,360
Después pone la segunda columna.

224
00:10:40,040 --> 00:10:41,600
"L", "r", "o", "o", "i",

225
00:10:41,680 --> 00:10:44,200
"t", "a", "s", "r",
"a", "e", "d", "p", "p"

226
00:10:44,280 --> 00:10:46,240
y ahí se ve perfecto
lo que hay que hacer.

227
00:10:46,320 --> 00:10:50,040
En definitiva, entonces,
lo que me importa señalar

228
00:10:50,120 --> 00:10:51,920
es que hay muchos métodos.

229
00:10:52,000 --> 00:10:53,760
Nosotros vamos a hacer ahora
un recreo

230
00:10:53,840 --> 00:10:56,160
y yo les voy a contar
otro método más

231
00:10:56,240 --> 00:10:59,520
y después contaré la historia
de los métodos asimétricos

232
00:10:59,600 --> 00:11:01,440
de aquellos que revolucionaron,

233
00:11:01,520 --> 00:11:04,320
en algún sentido,
la criptografía en el mundo.

234
00:11:04,480 --> 00:11:07,840
Pero vamos a hacer un recreo
e inmediatamente después volvemos.

235
00:11:07,920 --> 00:11:13,920
[Aplausos]

236
00:11:16,040 --> 00:11:21,800
[Música alegre]

237
00:11:21,880 --> 00:11:24,960
[Música rítmica]

238
00:11:25,040 --> 00:11:27,960
(Adrián Paenza)
<i>Supongamos que uno tiene un círculo</i>
<i>formado por veinte personas,</i>

239
00:11:28,040 --> 00:11:29,320
<i>como se ve acá.</i>

240
00:11:29,400 --> 00:11:33,240
<i>¿Cuántas personas serán necesarias</i>
<i>para atravesarlo por el medio?</i>

241
00:11:37,640 --> 00:11:39,800
<i>¿Se anima a pensar una solución?</i>

242
00:11:39,880 --> 00:11:42,440
<i>¿Podríamos aproximarnos</i>
<i>a un resultado</i>

243
00:11:42,520 --> 00:11:44,400
<i>antes de armar el círculo?</i>

244
00:11:45,600 --> 00:11:48,240
[Música alegre]

245
00:11:48,320 --> 00:11:53,000
[Aplausos]

246
00:11:53,080 --> 00:11:54,440
Bueno, gracias.

247
00:11:55,240 --> 00:11:59,000
En algún momento, en el año 1970,

248
00:11:59,480 --> 00:12:01,800
hay dos personas cuyos nombres

249
00:12:01,880 --> 00:12:07,320
son Diffie y otro se llama Hellman.

250
00:12:09,640 --> 00:12:12,560
Escribieron, en el año 1970,

251
00:12:12,640 --> 00:12:17,440
algo que se llama digamos
la clave pública y la clave privada.

252
00:12:17,520 --> 00:12:20,160
Vamos a suponer
que uno tiene una caja,

253
00:12:20,240 --> 00:12:22,400
como si fuera una caja fuerte,

254
00:12:22,480 --> 00:12:24,960
<i>que tiene dos cerraduras, A y B.</i>

255
00:12:25,240 --> 00:12:27,600
Acá está Alicia, no sé si la ven.

256
00:12:28,040 --> 00:12:29,080
¿Alicia? No.

257
00:12:29,160 --> 00:12:31,600
Acá está Alicia y acá está Roberto.

258
00:12:33,640 --> 00:12:34,760
El asunto es así:

259
00:12:34,840 --> 00:12:38,200
esta caja tiene
la siguiente particularidad:

260
00:12:38,280 --> 00:12:41,760
Alicia tiene una llave,
que la voy a llamar "A"

261
00:12:41,840 --> 00:12:45,200
<i>y Roberto tiene otra llave,</i>
<i>que la voy a llamar "B".</i>

262
00:12:45,600 --> 00:12:48,560
Alicia es la única que tiene
esta llave.

263
00:12:48,640 --> 00:12:52,040
En cambio, la llave de Roberto
la puede tener todo el mundo,

264
00:12:52,120 --> 00:12:53,320
la puede ver todo el mundo.

265
00:12:53,400 --> 00:12:55,960
Es como si hubiera réplicas
de la llave de Roberto,

266
00:12:56,040 --> 00:12:57,520
cualquiera lo puede ver.

267
00:12:57,600 --> 00:13:01,320
Ahora, ¿qué es lo que sucede?
La caja tiene la particularidad

268
00:13:01,400 --> 00:13:04,160
de que,
si uno la cierra con una llave,

269
00:13:04,240 --> 00:13:07,040
no la puede abrir con la misma,
la tiene que abrir con la otra.

270
00:13:07,120 --> 00:13:10,120
O sea, si la cerré con A,
no la puedo abrir con A,

271
00:13:10,200 --> 00:13:12,840
aunque la haya cerrado con A,
la tengo que abrir con B.

272
00:13:12,920 --> 00:13:15,960
Y, si alguien la cerró con B,
hay que abrirla con A.

273
00:13:16,040 --> 00:13:17,680
-¿Estamos de acuerdo?
-Sí.

274
00:13:17,760 --> 00:13:21,080
Alicia quiere mandar--
le manda la caja vacía.

275
00:13:21,160 --> 00:13:22,720
Se la manda a B.

276
00:13:23,000 --> 00:13:25,400
Si alguien intercepta
una caja vacía, no hay problema.

277
00:13:25,480 --> 00:13:28,480
Roberto recibe la caja,
escribe un mensaje

278
00:13:28,560 --> 00:13:31,240
y cierra la caja con su llave,
la cierra.

279
00:13:32,520 --> 00:13:35,440
Ahora, cualquiera
que quiera abrir la caja,

280
00:13:35,520 --> 00:13:38,320
tenga o no tenga la llave--

281
00:13:38,400 --> 00:13:40,720
¿La única persona
que puede abrir la caja quién es?

282
00:13:40,800 --> 00:13:42,560
-Alicia.
-Alicia. Muy bien.

283
00:13:42,640 --> 00:13:44,200
<i>¿Para qué sirve esto?</i>

284
00:13:44,280 --> 00:13:46,440
<i>Esto sirve para hacer lo siguiente:</i>

285
00:13:46,520 --> 00:13:50,120
cuando el que cierra la caja es B

286
00:13:50,200 --> 00:13:53,520
y manda un mensaje,
como había hecho al principio--

287
00:13:53,600 --> 00:13:55,680
Cuando el que cierra la caja...

288
00:13:56,360 --> 00:13:58,280
cuando el que cierra la caja es B,

289
00:13:58,360 --> 00:14:00,600
es como si ustedes
estuvieran mandando el número

290
00:14:00,680 --> 00:14:02,840
de una tarjeta de crédito al banco

291
00:14:02,920 --> 00:14:05,400
<i>o quieran hacer</i>
<i>una transacción comercial.</i>

292
00:14:05,480 --> 00:14:07,960
Entonces, el banco es el único

293
00:14:08,040 --> 00:14:12,160
que tiene la clave para poder saber
que es usted el que me mandó

294
00:14:12,240 --> 00:14:14,120
y me dio la indicación
para hacer algo

295
00:14:14,200 --> 00:14:15,960
y nadie más
porque cualquiera que lo vea

296
00:14:16,040 --> 00:14:17,680
no lo va a poder reconocer.

297
00:14:17,760 --> 00:14:19,200
Eso es por un lado.

298
00:14:19,600 --> 00:14:21,120
Por otro lado, al revés.

299
00:14:21,200 --> 00:14:24,160
A es el que cierra la caja
y B la abre,

300
00:14:24,240 --> 00:14:26,200
lo único que sabe es que A

301
00:14:26,280 --> 00:14:28,880
fue la persona que la cerró,
¿de acuerdo?

302
00:14:28,960 --> 00:14:30,040
¿Eso qué querría decir?

303
00:14:30,120 --> 00:14:33,360
Que la identidad del mensaje,
el que escribió el mensaje,

304
00:14:33,440 --> 00:14:34,920
supongamos, yo firmé algo--

305
00:14:35,000 --> 00:14:37,960
¿Cómo hago para--? Por ejemplo,
si yo quiero firmar un contrato.

306
00:14:38,040 --> 00:14:40,840
Está el escribano que certifica
que soy yo el que firma,

307
00:14:40,920 --> 00:14:42,560
pero, si no está el escribano acá,

308
00:14:42,640 --> 00:14:45,560
¿cómo se hace por internet
para mandar una firma?

309
00:14:45,640 --> 00:14:48,240
Entonces, la única manera
es que yo la cierre

310
00:14:48,320 --> 00:14:50,840
y, si alguien la abre,
¿qué es lo que sabe?

311
00:14:50,920 --> 00:14:53,040
¿Que quién la tuvo
que haber firmado?

312
00:14:53,120 --> 00:14:54,240
Tuve que haber sido yo.

313
00:14:54,320 --> 00:14:56,680
No me lo dicen ahora
con tanto entusiasmo.

314
00:14:56,760 --> 00:14:59,360
Si yo cierro –cerrar acá es firmar–,

315
00:14:59,440 --> 00:15:00,960
yo cierro, firmo.

316
00:15:01,040 --> 00:15:04,080
Cierro la caja, al cerrarla
es como si hubiera firmado.

317
00:15:04,160 --> 00:15:05,560
Cuando alguien la recibe,

318
00:15:05,640 --> 00:15:08,480
si la pudo abrir,
¿qué es lo único que sabe?

319
00:15:08,560 --> 00:15:11,240
Que fui yo el que lo escribí.
Que fui yo el que lo firmó.

320
00:15:11,320 --> 00:15:16,000
O sea que estoy confirmando,
certificando que soy yo la persona

321
00:15:16,080 --> 00:15:17,280
que hizo la firma.

322
00:15:17,360 --> 00:15:19,320
-¿Estamos de acuerdo?
-Sí.

323
00:15:19,400 --> 00:15:21,520
Entre paréntesis,
esto es hacer matemática.

324
00:15:21,600 --> 00:15:23,520
Pero, además,
aparecen los números primos

325
00:15:23,600 --> 00:15:25,200
y les voy a contar de qué manera.

326
00:15:25,280 --> 00:15:28,240
Por ejemplo-- ¿Todos saben
lo que son los números primos?

327
00:15:28,320 --> 00:15:31,160
Un número es primo
cuando es divisible por sí mismo

328
00:15:31,240 --> 00:15:32,360
o por la unidad,

329
00:15:32,440 --> 00:15:34,960
suponiendo que estamos hablando
de número positivos.

330
00:15:35,040 --> 00:15:36,680
Ahora pongámoslo de esta manera:

331
00:15:36,760 --> 00:15:40,880
si yo tengo el número tres
y el número cinco,

332
00:15:40,960 --> 00:15:43,320
¿el producto
lo puedo calcular fácil?

333
00:15:43,400 --> 00:15:47,240
-Sí.
-Yo lo tengo acá escrito, a ver.

334
00:15:47,320 --> 00:15:50,080
Tres por cinco, quince.

335
00:15:50,160 --> 00:15:52,800
[Risas]

336
00:15:52,880 --> 00:15:55,160
No, no crean que yo sé
todas las tablas.

337
00:15:55,240 --> 00:15:58,920
Entonces, eso da quince,
pero ahora al revés:

338
00:15:59,000 --> 00:16:00,600
si yo les doy un número,

339
00:16:00,680 --> 00:16:03,400
¿ustedes me pueden decir
cuáles son los números primos

340
00:16:03,480 --> 00:16:06,000
tales que multiplicados por él
me da el número?

341
00:16:06,080 --> 00:16:08,720
O sea, todo número
o bien él es primo

342
00:16:08,800 --> 00:16:11,120
o se escribe
como un producto de primos.

343
00:16:11,200 --> 00:16:14,440
Entonces, yo digo lo siguiente:
si yo les doy el número veintiuno,

344
00:16:14,520 --> 00:16:16,720
¿ustedes me pueden decir
cuáles son los primos?

345
00:16:16,800 --> 00:16:18,040
-Sí.
-¿Cuáles son?

346
00:16:18,120 --> 00:16:19,440
-Tres y siete.
-Tres y siete.

347
00:16:19,520 --> 00:16:22,800
Bueno, ahora yo les voy a poner
otro ejemplo.

348
00:16:22,880 --> 00:16:24,600
Este número.

349
00:16:25,120 --> 00:16:26,160
[Murmullo]

350
00:16:26,240 --> 00:16:27,360
Bueno, no.

351
00:16:27,440 --> 00:16:28,640
[Risas]

352
00:16:28,720 --> 00:16:30,240
¿Y ustedes qué creyeron,
que venían acá

353
00:16:30,320 --> 00:16:32,040
y esto era así no más? No.

354
00:16:32,280 --> 00:16:34,560
Esto es setecientos veintitrés...

355
00:16:34,640 --> 00:16:36,960
Ahora díganme cuáles--

356
00:16:37,040 --> 00:16:40,120
Les voy a dar una ayuda:
es el producto de dos primos.

357
00:16:40,200 --> 00:16:41,480
[Risas]

358
00:16:41,560 --> 00:16:44,360
Y en esto consiste la clave de todo.

359
00:16:44,440 --> 00:16:46,440
Yo ahora voy a escribir los números
para que vean que hay

360
00:16:46,520 --> 00:16:49,160
y después ustedes hagan la cuenta
cuando lleguen a casa,

361
00:16:49,240 --> 00:16:52,160
si no, no pueden entrar
porque esta es la llave.

362
00:16:53,560 --> 00:16:57,040
Bueno. El producto de estos
dos números da esto.

363
00:16:57,120 --> 00:17:02,280
O sea, sabiendo los dos números
es fácil multiplicar.

364
00:17:02,880 --> 00:17:04,160
Cuando uno tiene el número

365
00:17:04,240 --> 00:17:06,880
y tiene que encontrar
cuáles son los factores,

366
00:17:06,960 --> 00:17:08,760
ese es un problema muy complicado,

367
00:17:08,840 --> 00:17:11,840
pero no complicado
porque uno empieza a probar,

368
00:17:11,920 --> 00:17:14,080
el problema es que es largo
y lleva tiempo.

369
00:17:14,160 --> 00:17:17,840
Todavía no se conoce una forma
de poder factorizar,

370
00:17:17,920 --> 00:17:20,720
de poder, dado un número
de trescientos dígitos,

371
00:17:20,800 --> 00:17:23,320
de cuatrocientos dígitos
o de mil dígitos,

372
00:17:23,400 --> 00:17:26,400
que los hay obviamente,
porque ¿cuántos números primos hay?

373
00:17:26,480 --> 00:17:28,320
-Infinitos.
-Hay infinitos primos,

374
00:17:28,400 --> 00:17:31,120
entonces, yo puedo hacer
números tan grandes como quiera.

375
00:17:31,200 --> 00:17:34,480
Entonces, imagínense que uno tiene
un número enorme

376
00:17:34,560 --> 00:17:37,480
y, justamente, la clave pública
y la clave privada

377
00:17:37,560 --> 00:17:40,800
están ligadas con eso,
se llama un método asimétrico

378
00:17:40,880 --> 00:17:42,600
porque la forma de encriptar

379
00:17:42,680 --> 00:17:45,480
y la forma de desencriptar
es diferente.

380
00:17:45,840 --> 00:17:47,480
Una última cosa que quiero hacer.

381
00:17:47,560 --> 00:17:50,960
Les quiero poner un video
para que miren y ustedes opinen

382
00:17:51,040 --> 00:17:53,920
qué es lo que ustedes harían
si vieran esto.

383
00:17:54,000 --> 00:17:56,760
Primero, vamos a mirarlo y después
les voy a hacer la pregunta.

384
00:17:56,840 --> 00:18:02,840
[Música suave]

385
00:18:51,040 --> 00:18:53,080
Ahora bien, tengo una pregunta.

386
00:18:53,160 --> 00:18:54,760
¿Qué es más seguro?

387
00:18:55,400 --> 00:18:58,640
¿Pagar como pagó este señor
con una tarjeta de crédito

388
00:18:58,720 --> 00:19:02,280
o mandar un número
de tarjeta de crédito por internet?

389
00:19:02,960 --> 00:19:04,160
Pagar con tarjeta.

390
00:19:04,240 --> 00:19:06,480
-¿Pagar la cuenta es más seguro?
-Sí.

391
00:19:06,560 --> 00:19:07,720
O sea, ustedes creen

392
00:19:07,800 --> 00:19:10,520
que uno le da a una persona
una tarjeta de crédito

393
00:19:10,600 --> 00:19:13,080
y le dice: "Váyase tranquilo
y, cuando pueda, vuelva.

394
00:19:13,160 --> 00:19:14,600
Tome todos los datos y venga".

395
00:19:14,680 --> 00:19:16,960
Eso es más seguro
que mandar por internet.

396
00:19:17,200 --> 00:19:20,240
-No.
-Bueno, el asunto es que justamente

397
00:19:20,320 --> 00:19:23,440
uno está todo el tiempo
preocupado por internet

398
00:19:23,520 --> 00:19:27,040
y, sin embargo, las transacciones
por internet están encriptadas

399
00:19:27,120 --> 00:19:30,320
usando números primos
de la manera que les contaba,

400
00:19:30,400 --> 00:19:32,480
lo cual no significa
que sea inviolable.

401
00:19:32,560 --> 00:19:34,280
Inviolable no es.

402
00:19:34,360 --> 00:19:37,840
Bueno, en definitiva,
la criptografía, en algún sentido,

403
00:19:37,920 --> 00:19:40,760
se usa para la seguridad
en las comunicaciones,

404
00:19:40,840 --> 00:19:44,040
para la identificación
y para la autentificación,

405
00:19:44,120 --> 00:19:47,200
para la certificación
de que una persona es quien es

406
00:19:47,280 --> 00:19:49,360
y para garantizar también

407
00:19:49,440 --> 00:19:51,640
la identidad
de quién es el que firma,

408
00:19:51,720 --> 00:19:53,600
o sea,
como si fuera una firma digital

409
00:19:53,680 --> 00:19:56,800
y, por lo tanto, todo lo que aparece
con los números primos

410
00:19:56,880 --> 00:19:58,000
aparece encubierto

411
00:19:58,080 --> 00:20:00,600
en muchísimas actividades
de nuestra vida cotidiana,

412
00:20:00,680 --> 00:20:02,840
solo que nosotros
no nos damos cuenta.

413
00:20:02,920 --> 00:20:04,400
Nosotros vamos a hacer otro recreo

414
00:20:04,480 --> 00:20:06,840
y después seguimos
en "Alterados por pi".

415
00:20:06,920 --> 00:20:12,720
[Aplausos]

416
00:20:12,800 --> 00:20:16,720
[Música alegre]

417
00:20:18,080 --> 00:20:20,200
(Adrián Paenza)
<i>¿Se acuerda del problema</i>
<i>que había planteado?</i>

418
00:20:20,280 --> 00:20:23,200
<i>Si uno tiene un círculo formado</i>
<i>por veinte personas</i>

419
00:20:23,280 --> 00:20:26,240
<i>y quiere saber cuántas personas</i>
<i>le harían falta</i>

420
00:20:26,320 --> 00:20:28,160
<i>para atravesarlo por el medio,</i>

421
00:20:28,600 --> 00:20:31,560
<i>es decir, pasando por el medio</i>
<i>del círculo.</i>

422
00:20:32,080 --> 00:20:35,200
<i>La respuesta viene con la ayuda</i>
<i>del número pi</i>

423
00:20:35,280 --> 00:20:39,720
<i>porque, si uno divide la cantidad</i>
<i>de personas que formaban el círculo</i>

424
00:20:40,080 --> 00:20:44,080
<i>por el valor aproximado de pi,</i>
<i>tres coma catorce,</i>

425
00:20:45,120 --> 00:20:47,640
<i>eso da aproximadamente siete</i>

426
00:20:48,400 --> 00:20:51,960
<i>y ese es el número</i>
<i>de personas necesario</i>

427
00:20:52,040 --> 00:20:55,280
<i>como para poder cruzar el círculo</i>
<i>pasando por el centro.</i>

428
00:20:55,800 --> 00:21:01,800
[Música rítmica]

429
00:21:03,600 --> 00:21:06,480
[Música alegre]

430
00:21:06,560 --> 00:21:09,600
[Aplausos]

431
00:21:09,680 --> 00:21:11,000
Gracias.

432
00:21:12,160 --> 00:21:13,360
Quiero contarles...

433
00:21:13,440 --> 00:21:16,280
Quiero, para terminar el programa,
plantearles un problema

434
00:21:16,360 --> 00:21:18,200
y mostrarles cómo la matemática,

435
00:21:18,280 --> 00:21:20,720
a través de una rama
que se llama "topología",

436
00:21:20,800 --> 00:21:23,160
le permite a uno
resolver un problema.

437
00:21:23,240 --> 00:21:26,280
En este caso, el problema
me lo contó Cristian Czubara,

438
00:21:26,360 --> 00:21:29,000
que es matemático
y es uno de los que escribe

439
00:21:29,080 --> 00:21:31,080
para que nosotros
hagamos "Alterados por pi".

440
00:21:31,160 --> 00:21:33,000
Supongamos que yo tengo
una bufanda.

441
00:21:33,080 --> 00:21:35,600
Vamos a hacer una cosa,
¿por qué no pasan dos personas?

442
00:21:35,680 --> 00:21:38,120
A ver, dos personas
que quieran pasar.

443
00:21:38,200 --> 00:21:40,320
Una... y otra persona más. Vení.

444
00:21:40,680 --> 00:21:41,840
Ahí está.

445
00:21:42,040 --> 00:21:43,320
Vamos a ver.

446
00:21:43,400 --> 00:21:45,440
Miren qué bufanda tengo acá.
Vengan para acá.

447
00:21:45,520 --> 00:21:47,960
Vamos a ponernos acá adelante.

448
00:21:48,040 --> 00:21:49,480
-¿Cómo es su nombre?
-Edwin.

449
00:21:49,560 --> 00:21:50,560
-¿Cómo?
-Edwin.

450
00:21:50,640 --> 00:21:52,200
Edwin, venga de este lado, Edwin.

451
00:21:52,280 --> 00:21:53,800
-Y vos, ¿tu nombre?
-Agustín.

452
00:21:53,880 --> 00:21:55,720
Agustín, vení de este lado también,
Agustín.

453
00:21:55,800 --> 00:21:57,480
El asunto es el siguiente.

454
00:21:57,920 --> 00:22:00,240
Tené esta bufanda,
mirá qué bufanda rara.

455
00:22:00,320 --> 00:22:01,680
Edwin y Agustín.

456
00:22:01,760 --> 00:22:03,680
Lo que tienen que hacer
es lo siguiente:

457
00:22:03,760 --> 00:22:07,360
tienen que tomar la bufanda
de cada una de las puntas

458
00:22:07,440 --> 00:22:11,400
y, sin soltar las puntas,
hacerle un nudo.

459
00:22:13,120 --> 00:22:14,200
Tomá.

460
00:22:15,280 --> 00:22:16,880
Sin soltar las puntas.

461
00:22:16,960 --> 00:22:18,240
Parece imposible.

462
00:22:18,320 --> 00:22:19,840
Parece imposible, ¿no?

463
00:22:20,840 --> 00:22:23,400
Hay gente que está trabada así
hace años arriba...

464
00:22:23,480 --> 00:22:24,520
[Risas]

465
00:22:24,600 --> 00:22:26,000
Y está enroscada.

466
00:22:29,400 --> 00:22:30,440
[Risas]

467
00:22:30,520 --> 00:22:33,920
Cuando veas
que no podés respirar más, me decís.

468
00:22:35,560 --> 00:22:37,840
-No parece posible, ¿no?
-No parece.

469
00:22:37,920 --> 00:22:39,560
-No parece posible.
-¿Hay una forma?

470
00:22:39,640 --> 00:22:41,960
Hay una forma. Hay gente que salta
con la bufanda.

471
00:22:42,040 --> 00:22:43,200
[Risas]

472
00:22:45,400 --> 00:22:48,720
Sí, sí, pero, si quiere probar,
Edwin, siéntase cómodo.

473
00:22:49,040 --> 00:22:51,840
Este es el canal Encuentro,
el canal de la gente.

474
00:22:53,560 --> 00:22:54,720
Agustín.

475
00:22:54,800 --> 00:22:55,880
[Risas]

476
00:22:56,440 --> 00:22:57,840
-No parece posible.
-Hay una forma,

477
00:22:57,920 --> 00:22:59,240
pero no la encuentro todavía.

478
00:22:59,320 --> 00:23:02,240
Claro, y les voy a decir una cosa,
yo tampoco la encontraba

479
00:23:02,320 --> 00:23:05,840
hasta que la explicación--
Fíjese lo que voy a hacer:

480
00:23:05,920 --> 00:23:09,320
Ponga las puntas así.
No, no, no, acérquese a mí ahora.

481
00:23:09,400 --> 00:23:11,800
Usted téngala,
yo voy a hacer lo siguiente:

482
00:23:11,880 --> 00:23:13,120
póngamela acá.

483
00:23:13,320 --> 00:23:16,040
Y deme esta punta
de este otro lado, acá abajo.

484
00:23:16,960 --> 00:23:18,280
-Ahí va. ¿Ahí está?
-Sí.

485
00:23:18,360 --> 00:23:19,520
Perfecto.

486
00:23:19,840 --> 00:23:22,240
Déjeme que yo la agarro,
ahora suéltela.

487
00:23:22,840 --> 00:23:24,400
[Risas]

488
00:23:24,480 --> 00:23:29,680
[Aplausos]

489
00:23:29,760 --> 00:23:32,040
Bueno, lo que uno hace,

490
00:23:32,440 --> 00:23:34,720
lo que uno hace es transferir...

491
00:23:35,240 --> 00:23:37,960
Tome, Edwin, nuevamente.
No, no se enrolle usted.

492
00:23:38,040 --> 00:23:41,160
Lo que quiero decir es
que lo que uno hace al hacer esto,

493
00:23:41,240 --> 00:23:43,360
uno está haciendo un nudo

494
00:23:43,440 --> 00:23:46,240
y lo que pasa-- imagínese que uno
tiene una cosa muy grande

495
00:23:46,320 --> 00:23:47,360
y tuviera un nudo,

496
00:23:47,440 --> 00:23:50,480
el nudo lo puede ir moviendo
por la soga o por la bufanda.

497
00:23:50,560 --> 00:23:53,040
Cuando yo hice esto,
es como si hubiera hecho una--

498
00:23:53,120 --> 00:23:54,360
Estoy acá con el nudo

499
00:23:54,440 --> 00:23:57,680
y es una prolongación la bufanda
de mis manos.

500
00:23:57,760 --> 00:24:01,520
Cuando yo lo desarmo así,
el nudo queda en alguna otra parte.

501
00:24:01,600 --> 00:24:02,960
¿Se entiende lo que estoy diciendo?

502
00:24:03,040 --> 00:24:07,120
O sea, sin soltar, de pronto aparece
el nudo que uno estaba buscando,

503
00:24:07,200 --> 00:24:08,520
que no parecía posible.

504
00:24:08,600 --> 00:24:10,560
Gracias a los dos,
nosotros nos vamos

505
00:24:10,640 --> 00:24:12,600
y nos reencontramos
con "Alterados por pi"

506
00:24:12,680 --> 00:24:15,200
siempre por el canal Encuentro
en cualquier otro momento.

507
00:24:15,280 --> 00:24:16,560
Chau, gracias.

508
00:24:16,640 --> 00:24:17,680
[Aplausos]

509
00:24:17,760 --> 00:24:19,160
Gracias.

510
00:24:21,040 --> 00:24:22,160
Gracias.

511
00:24:27,320 --> 00:24:33,360
[Música de cierre]