1
00:00:01,600 --> 00:00:04,120
(Adrián Paenza)
No hay duda de que,
en sus diseños y en sus cálculos,
2
00:00:04,200 --> 00:00:06,440
los arquitectos usan la matemática.
3
00:00:06,760 --> 00:00:08,760
También puede decirse que,
a su modo,
4
00:00:08,840 --> 00:00:10,960
los matemáticos son arquitectos.
5
00:00:11,040 --> 00:00:13,200
Arquitectos de otros mundos.
6
00:00:14,080 --> 00:00:15,720
Pero también hay matemáticos
7
00:00:15,800 --> 00:00:19,000
que han inventado sus propios mundos
desde la literatura
8
00:00:19,080 --> 00:00:21,840
o reuniendo literatura
con matemática.
9
00:00:22,120 --> 00:00:24,520
Hay novelas que describen
con gran detalle
10
00:00:24,600 --> 00:00:26,800
la vida en un universo
de dos dimensiones,
11
00:00:26,880 --> 00:00:30,040
algo verdaderamente raro
para nosotros,
12
00:00:30,120 --> 00:00:32,920
que estamos acostumbrados
a un mundo de tres.
13
00:00:33,400 --> 00:00:36,800
Los aportes de la matemática
a la creación de mundos literarios
14
00:00:36,880 --> 00:00:38,480
tienen una larga historia.
15
00:00:38,560 --> 00:00:41,760
Uno puede citar a J. M. Coetzee
y Bertrand Russell.
16
00:00:41,840 --> 00:00:43,320
Ambos fueron matemáticos
17
00:00:43,400 --> 00:00:45,640
y, además, premios nobel
de literatura.
18
00:00:47,560 --> 00:00:51,040
En la Argentina, también tenemos
dos buenos ejemplos:
19
00:00:51,560 --> 00:00:55,760
Guillermo Martínez y Juan Sabia
transitan con éxito hoy
20
00:00:55,840 --> 00:00:58,840
el camino que va de la matemática
a la literatura.
21
00:00:59,920 --> 00:01:01,240
En todo caso,
22
00:01:01,320 --> 00:01:05,120
queda claro que esa búsqueda lúdica
de mundos imaginarios
23
00:01:05,200 --> 00:01:08,120
que es parte de la tarea cotidiana
de los matemáticos
24
00:01:08,200 --> 00:01:10,280
puede ser un material muy rico
25
00:01:10,360 --> 00:01:12,600
a la hora de crear
mundos literarios.
26
00:01:17,760 --> 00:01:23,760
[Música de presentación]
27
00:01:52,240 --> 00:01:54,520
Hay un triángulo que,
dentro de la matemática,
28
00:01:54,600 --> 00:01:56,200
ocupa un lugar muy privilegiado.
29
00:01:56,280 --> 00:01:59,400
Es lo que se conoce con el nombre
de "triángulo de Pascal"
30
00:01:59,480 --> 00:02:01,760
o para algunos,
"el triángulo de Tartaglia".
31
00:02:01,840 --> 00:02:06,720
En realidad, Pascal es un matemático
que vivió allá por el 1660
32
00:02:06,800 --> 00:02:10,160
y, en 1665,
apareció con un triángulo,
33
00:02:10,240 --> 00:02:12,040
que es que yo tengo acá,
al lado mío.
34
00:02:12,120 --> 00:02:15,680
En realidad, este triángulo
ya era conocido por los chinos...
35
00:02:15,760 --> 00:02:18,880
En fin, era conocido desde hacía
muchísimo tiempo por los árabes,
36
00:02:18,960 --> 00:02:21,040
o sea que se conocía
casi quinientos años
37
00:02:21,120 --> 00:02:24,000
antes de que Pascal
le pusiera su nombre y lo patentara.
38
00:02:24,080 --> 00:02:25,120
Esto es una broma,
39
00:02:25,200 --> 00:02:27,440
pero así es conocido
en el mundo de la matemática:
40
00:02:27,520 --> 00:02:28,760
el triángulo de Pascal.
41
00:02:28,840 --> 00:02:31,120
Ahora, uno mira
todos estos números y dice:
42
00:02:31,200 --> 00:02:33,160
"¿Y para qué sirven
todos estos números?
43
00:02:33,240 --> 00:02:35,240
¿Cómo se formaron
todos estos números?".
44
00:02:35,320 --> 00:02:36,520
Entonces, yo lo que quiero hacer
45
00:02:36,600 --> 00:02:39,320
es empezar a meterme
dentro del triángulo
46
00:02:39,400 --> 00:02:42,840
para ver cuáles son las propiedades
que tiene y para qué sirven.
47
00:02:42,920 --> 00:02:46,320
Entonces, en principio,
lo primero que uno advierte
48
00:02:46,400 --> 00:02:50,680
es que el triángulo tiene todos
números uno sobre esta diagonal
49
00:02:51,160 --> 00:02:54,680
y tiene todos números uno también
la otra diagonal,
50
00:02:54,760 --> 00:02:59,800
o sea, lo que serían los bordes
del triángulo son todos números uno.
51
00:03:00,600 --> 00:03:02,480
Ahora, ¿cómo se sigue formando?
52
00:03:03,000 --> 00:03:06,160
Debajo del primer número uno,
hay dos números uno más
53
00:03:06,240 --> 00:03:08,840
y, a partir de ahora,
fíjense lo que sucede.
54
00:03:08,920 --> 00:03:11,680
Siempre los dos de la punta
son números uno
55
00:03:11,760 --> 00:03:16,440
y lo que está abajo de estos dos
es la suma de los dos números.
56
00:03:16,560 --> 00:03:18,080
Uno más uno, dos.
57
00:03:18,840 --> 00:03:20,320
Entonces, ya terminé esta fila.
58
00:03:20,400 --> 00:03:22,040
Ahora paso a la fila siguiente.
59
00:03:22,120 --> 00:03:24,400
En las puntas, pongo números uno
60
00:03:24,520 --> 00:03:28,920
y acá pongo uno más dos, tres;
dos más uno, tres.
61
00:03:29,440 --> 00:03:30,760
Siguiente fila.
62
00:03:30,840 --> 00:03:32,920
Pongo dos unos en las puntas
63
00:03:33,080 --> 00:03:35,720
y, después, acá abajo,
va a venir la suma de estos dos.
64
00:03:35,800 --> 00:03:37,360
Uno más tres, cuatro;
65
00:03:37,440 --> 00:03:38,600
tres más tres, seis;
66
00:03:38,680 --> 00:03:40,200
tres más uno, cuatro
67
00:03:40,280 --> 00:03:41,640
y el uno de la punta.
68
00:03:41,720 --> 00:03:43,280
Voy a hacer un paso más.
69
00:03:43,440 --> 00:03:44,600
¿Esto qué tiene?
70
00:03:44,680 --> 00:03:46,200
Dos unos en las puntas,
71
00:03:46,280 --> 00:03:49,200
acá abajo tiene que venir
la suma de estos dos:
72
00:03:49,280 --> 00:03:50,920
uno más cuatro, cinco;
73
00:03:51,000 --> 00:03:52,400
cuatro más seis, diez;
74
00:03:52,480 --> 00:03:53,960
seis más cuatro, diez;
75
00:03:54,040 --> 00:03:55,240
cuatro más uno, cinco
76
00:03:55,320 --> 00:03:56,480
y el número uno.
77
00:03:56,560 --> 00:03:59,760
Y así uno puede seguir
en forma indefinida,
78
00:03:59,920 --> 00:04:01,800
siempre con unos en las puntas
79
00:04:01,880 --> 00:04:06,640
y uno se lo va fabricando
poniendo debajo de dos la suma
80
00:04:06,840 --> 00:04:08,440
y así sucesivamente.
81
00:04:09,120 --> 00:04:10,440
Una vez hecho eso,
82
00:04:10,520 --> 00:04:12,440
uno dice:
"Qué simpático este triángulo.
83
00:04:12,520 --> 00:04:15,360
Es lindo armarlo, pero no tengo idea
de para qué me sirve,
84
00:04:15,440 --> 00:04:16,960
qué propiedades tiene".
85
00:04:17,560 --> 00:04:20,520
Ya vamos a llegar.
Ténganme un poco de confianza.
86
00:04:20,600 --> 00:04:23,080
Vamos a investigar, por otro lado,
qué es lo que pasa
87
00:04:23,160 --> 00:04:25,920
con las diagonales
de este triángulo.
88
00:04:26,000 --> 00:04:28,280
Por ejemplo, miren lo que pasa.
89
00:04:28,360 --> 00:04:31,440
Una diagonal es esta, la grande,
la de los números uno.
90
00:04:31,520 --> 00:04:33,480
Pero ahora miremos otra diagonal,
91
00:04:33,560 --> 00:04:37,000
que es la que viene inmediatamente
por debajo de la que mostré recién.
92
00:04:37,080 --> 00:04:38,720
Fíjense qué números están.
93
00:04:38,800 --> 00:04:43,080
Uno, dos, tres, cuatro,
cinco, seis, siete.
94
00:04:43,160 --> 00:04:46,560
Es decir, los números que aparecen
en esta diagonal
95
00:04:46,640 --> 00:04:48,400
son todos los números.
96
00:04:49,600 --> 00:04:53,000
Bárbaro, ahora un próximo paso
97
00:04:53,280 --> 00:04:54,920
y fíjense lo que sucede.
98
00:04:55,040 --> 00:04:56,800
En la próxima diagonal,
99
00:04:56,880 --> 00:05:01,000
ahora aparecen uno, tres, seis,
100
00:05:01,080 --> 00:05:02,800
diez, quince...
101
00:05:03,120 --> 00:05:05,280
y estos son los números
102
00:05:05,360 --> 00:05:08,640
que se conocen con el nombre
de "números triangulares"
103
00:05:08,720 --> 00:05:11,280
y sobre esto quiero hablar
también así.
104
00:05:12,520 --> 00:05:18,520
[Música instrumental]
105
00:05:20,520 --> 00:05:22,600
(Adrián Paenza)
¿Usted jugó alguna vez al bowling?
106
00:05:23,000 --> 00:05:26,640
En el bowling, un jugador
tiene que derribar diez bolos
107
00:05:26,720 --> 00:05:29,520
que están ordenados
en forma de triángulo.
108
00:05:32,080 --> 00:05:34,640
Hay uno adelante,
en la primera fila,
109
00:05:34,720 --> 00:05:36,440
dos en la segunda fila,
110
00:05:36,520 --> 00:05:38,240
tres en la tercera
111
00:05:38,320 --> 00:05:39,640
y cuatro en la cuarta.
112
00:05:40,760 --> 00:05:44,560
Uno más dos más tres más cuatro
es igual a diez.
113
00:05:46,560 --> 00:05:49,000
Y esa disposición
en forma de triángulo
114
00:05:49,080 --> 00:05:52,080
es lo que hace que diez
sea un número triangular.
115
00:05:53,320 --> 00:05:56,760
Ahora, miren lo que pasa
con esa misma diagonal.
116
00:05:57,080 --> 00:05:59,480
Además de los números triangulares,
117
00:05:59,560 --> 00:06:02,000
fíjense lo que pasa
si uno los va sumando.
118
00:06:02,080 --> 00:06:05,280
O sea, va haciendo
uno más tres, cuatro;
119
00:06:05,640 --> 00:06:07,720
tres más seis, nueve.
120
00:06:08,520 --> 00:06:11,400
Es decir--
Seis más diez, dieciséis.
121
00:06:11,760 --> 00:06:13,440
¿A quién les hace acordar
122
00:06:13,520 --> 00:06:15,920
o quiénes son los números
que aparecen?
123
00:06:16,280 --> 00:06:17,400
Miren esto.
124
00:06:18,240 --> 00:06:21,400
[Música suave]
125
00:06:21,480 --> 00:06:24,560
Ahora, vamos a sumar
seis bolas más diez bolas,
126
00:06:25,080 --> 00:06:27,040
dos números triangulares sucesivos,
127
00:06:27,120 --> 00:06:30,000
pero permítanme acomodar las bolas
de otra manera.
128
00:06:30,880 --> 00:06:32,720
Primero, la seis.
129
00:06:33,200 --> 00:06:34,680
Ponemos una bola,
130
00:06:34,880 --> 00:06:36,120
encima dos
131
00:06:36,360 --> 00:06:37,640
y encima tres.
132
00:06:39,200 --> 00:06:41,400
Y, ahora, vamos con las otras diez,
133
00:06:41,760 --> 00:06:44,640
que son uno más dos
más tres más cuatro.
134
00:06:46,400 --> 00:06:49,080
La primera
al lado de las tres de antes.
135
00:06:50,040 --> 00:06:52,960
Las siguientes dos
al lado de las dos de antes.
136
00:06:54,200 --> 00:06:57,440
Las siguientes tres
al lado de la que antes estaba sola.
137
00:06:58,680 --> 00:06:59,720
Y, finalmente,
138
00:06:59,800 --> 00:07:02,720
las últimas cuatro bolitas
debajo de todo.
139
00:07:03,880 --> 00:07:05,040
¿Y qué nos queda?
140
00:07:05,120 --> 00:07:07,520
Un cuadrado de cuatro bolas
por lado,
141
00:07:07,760 --> 00:07:12,600
o sea, dieciséis en total, que,
por disponerse en forma cuadrada,
142
00:07:12,680 --> 00:07:14,640
se lo llama un número cuadrado.
143
00:07:15,920 --> 00:07:20,080
Por otro lado, ahora quiero plantear
otros tipos de problemas.
144
00:07:20,520 --> 00:07:22,280
Los números que están acá
145
00:07:22,360 --> 00:07:25,840
son los que permiten resolver
problemas que uno no tiene ni idea
146
00:07:25,920 --> 00:07:27,480
de que en realidad, en la vida,
147
00:07:27,560 --> 00:07:30,960
uno puede usar este triángulo
para resolverlos.
148
00:07:31,360 --> 00:07:34,960
Por ejemplo, supongamos que usted
se va a ir de vacaciones
149
00:07:35,040 --> 00:07:36,440
y que tiene en su casa
150
00:07:36,520 --> 00:07:38,400
–supongamos
que es una persona adinerada–
151
00:07:38,480 --> 00:07:40,440
diez camisas diferentes.
152
00:07:40,640 --> 00:07:44,120
Y uno dice: "Me voy a llevar tres,
no me voy a llevar las diez".
153
00:07:44,200 --> 00:07:48,280
¿De cuántas maneras puede elegir
las tres camisas?
154
00:07:49,960 --> 00:07:52,840
Las camisas son todas
de distinto color.
155
00:07:53,720 --> 00:07:57,960
Por ejemplo, podría llevarse
las camisas uno, dos y tres
156
00:07:58,440 --> 00:08:02,880
o bien podría llevarse
las camisas uno, dos y cuatro,
157
00:08:03,120 --> 00:08:05,960
que sería una manera distinta
de la anterior.
158
00:08:06,800 --> 00:08:10,000
O podría llevarse
las camisas dos, cinco y siete,
159
00:08:10,160 --> 00:08:12,280
que sería otra manera.
160
00:08:12,920 --> 00:08:15,880
¿De cuántas maneras puede elegir
las tres camisas?
161
00:08:16,800 --> 00:08:19,160
Empecemos, entonces,
con menos camisas.
162
00:08:19,840 --> 00:08:22,760
Si uno no se quisiera llevar
ninguna camisa,
163
00:08:22,840 --> 00:08:26,760
solo podría hacerlo de una manera,
ya que no tiene nada que elegir
164
00:08:27,400 --> 00:08:29,560
y esa única forma de hacerlo
165
00:08:29,640 --> 00:08:32,720
está reflejada en el primer número
de la fila, el uno.
166
00:08:34,920 --> 00:08:37,680
Si uno quisiera llevarse
solo una camisa,
167
00:08:37,760 --> 00:08:41,200
podría elegir la uno o la dos
o la tres
168
00:08:41,640 --> 00:08:43,040
y así siguiendo,
169
00:08:43,120 --> 00:08:46,360
es decir que tendría
diez formas distintas de elegir.
170
00:08:47,400 --> 00:08:51,200
Esas diez formas están indicadas
en el siguiente número de la fila,
171
00:08:51,280 --> 00:08:52,320
el diez.
172
00:08:55,160 --> 00:08:57,480
Si uno quisiera
llevarse dos camisas,
173
00:08:57,560 --> 00:08:59,960
ya tendría
muchas más formas de elegir.
174
00:09:01,000 --> 00:09:04,040
Si quisiera llevarse la camisa uno
con alguna otra,
175
00:09:04,120 --> 00:09:06,120
tendría nueve formas de hacerlo:
176
00:09:06,200 --> 00:09:07,360
uno y dos,
177
00:09:07,440 --> 00:09:08,440
uno y tres
178
00:09:08,520 --> 00:09:09,600
uno y cuatro
179
00:09:09,680 --> 00:09:11,680
y así siguiendo hasta uno y diez.
180
00:09:14,360 --> 00:09:17,240
Si uno quiere llevarse la número dos
con alguna otra,
181
00:09:17,320 --> 00:09:19,280
tendría ocho formas de hacerlo:
182
00:09:19,800 --> 00:09:23,120
dos y tres, dos y cuatro,
dos y cinco,
183
00:09:23,320 --> 00:09:25,560
y así siguiendo hasta dos y diez.
184
00:09:26,360 --> 00:09:30,720
Entonces, ya tenemos nueve formas
que incluyen la camisa número uno,
185
00:09:30,880 --> 00:09:33,760
más ocho formas que incluyen
la camisa número dos.
186
00:09:34,480 --> 00:09:36,560
Si uno sigue con este razonamiento,
187
00:09:36,640 --> 00:09:38,400
la cuenta final va a ser
188
00:09:38,480 --> 00:09:39,840
nueve más ocho
189
00:09:39,920 --> 00:09:41,400
más siete más seis
190
00:09:41,480 --> 00:09:43,320
más cinco más cuatro
191
00:09:43,400 --> 00:09:45,400
más tres más dos más uno
192
00:09:46,160 --> 00:09:48,520
y el total da cuarenta y cinco,
193
00:09:49,160 --> 00:09:51,360
que, además de ser
un número triangular,
194
00:09:51,440 --> 00:09:53,520
es el siguiente número de la fila.
195
00:09:54,440 --> 00:09:56,520
Es decir que, en la fila,
196
00:09:56,600 --> 00:09:59,280
va apareciendo la cantidad
de formas de elegir.
197
00:09:59,360 --> 00:10:02,800
Ninguna camisa entre diez,
o sea, una forma;
198
00:10:03,240 --> 00:10:06,120
una camisa entre diez, diez formas;
199
00:10:06,680 --> 00:10:09,800
dos camisas entre diez,
cuarenta y cinco formas
200
00:10:10,160 --> 00:10:12,560
y el siguiente número
es el que buscamos:
201
00:10:12,760 --> 00:10:17,280
hay ciento veinte formas
de elegir tres camisas entre diez.
202
00:10:20,680 --> 00:10:22,480
Este triángulo, entonces,
203
00:10:22,560 --> 00:10:25,160
que se conoce con el nombre
del triángulo de Pascal,
204
00:10:25,240 --> 00:10:26,640
como les decía al principio,
205
00:10:26,720 --> 00:10:29,560
es un triángulo que parece ingenuo,
de hecho lo es,
206
00:10:29,640 --> 00:10:32,200
de construcción muy fácil,
de hecho lo es,
207
00:10:32,280 --> 00:10:35,920
o elemental, muy rápido
y que tiene muchísimas propiedades.
208
00:10:36,000 --> 00:10:38,800
Hemos hablado aquí, en el programa,
de solo algunas,
209
00:10:38,880 --> 00:10:41,800
pero muchos de los problemas
con los que uno puede tropezarse
210
00:10:41,880 --> 00:10:43,040
en la vida cotidiana
211
00:10:43,120 --> 00:10:45,480
en donde uno tiene
un grupo de objetos
212
00:10:45,560 --> 00:10:48,400
y tiene que contar cómo puede
agruparlos de a tres,
213
00:10:48,480 --> 00:10:50,880
de a cuatro, de a cinco,
la solución está acá.
214
00:10:50,960 --> 00:10:52,640
La solución está en este triángulo.
215
00:10:52,720 --> 00:10:53,920
¿Usted lo sabía?
216
00:10:54,000 --> 00:10:55,280
No importa si no,
217
00:10:55,360 --> 00:10:58,400
ahora tenemos una herramienta
para poder utilizar
218
00:10:58,480 --> 00:11:00,000
y la tenemos disponible.
219
00:11:00,080 --> 00:11:02,400
Cuando usted la necesite,
sabe adónde recurrir,
220
00:11:02,480 --> 00:11:04,000
sabe dónde ir a usarla.
221
00:11:04,440 --> 00:11:08,480
[Música alegre]
222
00:11:08,560 --> 00:11:14,560
[Riiing]
223
00:11:15,200 --> 00:11:17,440
Yo lo desafío a pensar lo siguiente:
224
00:11:17,680 --> 00:11:21,800
si uno tuviera que cortar un reloj
en alguna parte,
225
00:11:21,880 --> 00:11:24,480
de manera tal que de un lado
queden algunos números
226
00:11:24,560 --> 00:11:26,240
y, del otro lado, otros,
227
00:11:26,320 --> 00:11:29,640
pero de tal forma que la suma
de los números de un lado
228
00:11:29,720 --> 00:11:32,240
sea igual a la suma
de los números del otro,
229
00:11:32,480 --> 00:11:33,760
¿se podrá hacer?
230
00:11:34,040 --> 00:11:35,640
La pista que le puedo dar
231
00:11:35,720 --> 00:11:38,720
es que el corte que tiene que hacer
es en línea recta.
232
00:11:43,440 --> 00:11:46,520
[Música instrumental suave]
233
00:11:46,600 --> 00:11:48,560
Lo fascinante de la matemática
234
00:11:48,640 --> 00:11:51,520
es que nos permite disfrutar
de resolver problemas,
235
00:11:51,600 --> 00:11:56,000
como, por ejemplo, ganar este juego,
que se llama "cuatro en línea".
236
00:11:59,760 --> 00:12:02,360
Cristian Czubara
se dedica a la docencia.
237
00:12:03,160 --> 00:12:04,280
Como matemático,
238
00:12:04,360 --> 00:12:07,520
asegura que esa ciencia
no es solo sobre números.
239
00:12:08,560 --> 00:12:11,880
¿La matemática puede abrir caminos
para entender el mundo?
240
00:12:14,320 --> 00:12:15,960
¿Por qué estudiás matemática?
241
00:12:16,040 --> 00:12:19,280
Siempre, cuando era chiquito,
me gustaban los números
242
00:12:19,360 --> 00:12:22,280
y lo interesante de poder resolver
las cuentas rápido
243
00:12:22,360 --> 00:12:25,360
y como que había un premio
en resolver esas cosas
244
00:12:25,440 --> 00:12:27,640
que aparentemente parecían difíciles
245
00:12:27,920 --> 00:12:30,080
porque muchos chicos tal vez
en el grado
246
00:12:30,160 --> 00:12:31,960
tenían dificultades
con la matemática
247
00:12:32,040 --> 00:12:34,640
y a mí me salía naturalmente
más fácil.
248
00:12:34,720 --> 00:12:39,880
Siempre me sentí predispuesto
a hacer ese tipo de cálculos
249
00:12:39,960 --> 00:12:41,240
cuando era chico.
250
00:12:41,320 --> 00:12:44,720
Y una vez estaba
en la casa de mi tía mirando la tele
251
00:12:44,960 --> 00:12:47,880
y me acuerdo
de que una persona agarra
252
00:12:48,440 --> 00:12:50,480
y empieza a contar de la nada
253
00:12:50,560 --> 00:12:52,720
por qué no se podía
dividir por cero,
254
00:12:52,920 --> 00:12:55,120
una operación que aparentemente
está prohibida
255
00:12:55,200 --> 00:12:58,040
porque es un mandato
de la matemática:
256
00:12:58,120 --> 00:12:59,440
"No dividirás por cero".
257
00:12:59,520 --> 00:13:02,800
Entonces, nunca se explicó
por qué no se puede dividir por cero
258
00:13:02,880 --> 00:13:06,320
o, al menos hasta ese momento,
a mí nunca me lo habían explicado.
259
00:13:06,400 --> 00:13:08,920
Y, de repente,
escuché esta explicación,
260
00:13:09,000 --> 00:13:11,600
que después me enteré
de que esa persona eras vos,
261
00:13:11,680 --> 00:13:13,560
justamente hablando con vos,
262
00:13:13,640 --> 00:13:16,680
y esa forma de tratar de razonar
263
00:13:16,760 --> 00:13:20,680
y de ver cómo las cuentas
esas que hacía tenían un por qué
264
00:13:20,960 --> 00:13:22,000
y, entonces, empecé a ver
265
00:13:22,080 --> 00:13:24,160
que la matemática
no era solo hacer cuentas,
266
00:13:24,240 --> 00:13:28,200
sino que uno podía modelar cosas
a través de la matemática
267
00:13:28,280 --> 00:13:33,040
y eso abría un mundo
absolutamente distinto y conceptual,
268
00:13:33,480 --> 00:13:34,520
que me sedujo mucho
269
00:13:34,600 --> 00:13:37,360
porque,
cuando uno despejaba una incógnita,
270
00:13:37,680 --> 00:13:41,120
uno no estaba con el jueguito
de averiguar "x" solamente,
271
00:13:41,200 --> 00:13:43,480
sino que uno estaba averiguando
no sé,
272
00:13:43,560 --> 00:13:45,800
el punto de encuentro de dos autos
273
00:13:45,880 --> 00:13:48,720
cuando uno venía de Mar del Plata
y otro de Buenos Aires
274
00:13:48,800 --> 00:13:50,360
a determinada velocidad.
275
00:13:50,520 --> 00:13:54,200
Entonces, ver como que ya
las cuentas dejaban de ser cuentas
276
00:13:54,280 --> 00:13:56,240
que uno podía hacerlas o no
277
00:13:56,560 --> 00:13:58,840
por si era inteligente,
entre comillas,
278
00:13:58,920 --> 00:14:02,440
o no era inteligente,
sino que podía decirnos algo
279
00:14:02,520 --> 00:14:04,320
acerca del mundo real
280
00:14:04,400 --> 00:14:08,200
y eso es una cosa que a mí
me motivó mucho
281
00:14:08,280 --> 00:14:11,160
para tratar de profundizar
un poco en eso.
282
00:14:11,240 --> 00:14:17,240
[Música instrumental suave]
283
00:14:21,720 --> 00:14:24,360
Si vos tuvieras que decir:
"A mí lo que me dio es esto,
284
00:14:24,440 --> 00:14:27,960
me estructuró de esta manera,
me ayudó a pensar de esta otra,
285
00:14:28,040 --> 00:14:31,120
me fascina esto, me gusta esto...".
286
00:14:31,200 --> 00:14:33,480
La matemática,
dentro de todo lo lindo que tiene,
287
00:14:33,560 --> 00:14:37,720
también tiene
algo que es un poco peligroso,
288
00:14:37,800 --> 00:14:40,440
que es el sentido
de estructurarse demasiado,
289
00:14:40,520 --> 00:14:43,920
encasillarse lógicamente
en que una cosa puede ser
290
00:14:44,000 --> 00:14:46,400
o no puede ser
y no hay nada en el medio.
291
00:14:46,800 --> 00:14:49,520
Dentro de los razonamientos
que uno utiliza
292
00:14:49,600 --> 00:14:52,520
cuando intenta resolver
un ejercicio de la matemática,
293
00:14:52,600 --> 00:14:57,720
uno se guía por esas reglas,
por esos silogismos.
294
00:14:59,400 --> 00:15:01,360
Pero en la vida
hay mucho más que eso,
295
00:15:01,440 --> 00:15:03,520
no es que las cosas son o no son.
296
00:15:03,800 --> 00:15:08,240
Pero sí tengo que admitir
que lo que me enseñó la matemática
297
00:15:08,320 --> 00:15:12,400
es a tratar de pensar
las cosas más ordenadas,
298
00:15:12,480 --> 00:15:16,720
a tratar de seguir un camino
para que me conduzca a algún lugar
299
00:15:17,080 --> 00:15:19,200
donde, de un paso al otro,
300
00:15:19,280 --> 00:15:22,640
voy tratando de seguir
ciertas reglas básicas
301
00:15:22,720 --> 00:15:25,400
para asegurarme
de que lo que estoy haciendo
302
00:15:25,480 --> 00:15:28,040
está hecho de la forma correcta.
303
00:15:28,400 --> 00:15:31,280
Y, si en algún momento
me encuentro con una contradicción,
304
00:15:31,360 --> 00:15:32,960
entonces, ahí me replanteo
305
00:15:33,040 --> 00:15:36,880
si desde el lugar donde empecé
era el lugar correcto efectivamente
306
00:15:36,960 --> 00:15:40,040
o si desde donde empecé
la cosa era falsa.
307
00:15:40,680 --> 00:15:42,600
Bueno, ese es un argumento
que uno utiliza
308
00:15:42,680 --> 00:15:45,520
cuando intenta hacer
una demostración en un teorema,
309
00:15:45,600 --> 00:15:48,160
intenta argumentar por el absurdo.
310
00:15:48,440 --> 00:15:51,120
Empezando de algo que uno cree
que es verdadero,
311
00:15:51,200 --> 00:15:53,880
llega a una contradicción obvia,
entonces, dice:
312
00:15:53,960 --> 00:15:58,360
"Bueno, esta contradicción no es
que pueda existir en sí misma,
313
00:15:58,440 --> 00:16:00,480
sino que me equivoqué
desde donde empecé,
314
00:16:00,560 --> 00:16:02,400
entonces, donde empecé era falso".
315
00:16:02,480 --> 00:16:08,480
[Música instrumental suave]
316
00:16:09,560 --> 00:16:11,200
(Adrián Paenza)
¿Sos consciente de cuánto te dio
317
00:16:11,280 --> 00:16:13,400
la matemática
para tu vida cotidiana?
318
00:16:13,560 --> 00:16:14,600
Aprendí muchísimo
319
00:16:14,680 --> 00:16:16,600
y, sobre todo,
aprendí que los docentes
320
00:16:16,680 --> 00:16:19,880
pueden escuchar
lo que el alumno tiene para decirle
321
00:16:20,240 --> 00:16:22,280
y a tratar de torear
las situaciones de la vida,
322
00:16:22,360 --> 00:16:26,200
tratar de torear a los alumnos
para que participen de las clases
323
00:16:26,280 --> 00:16:30,720
y para que... el proceso de aprender
324
00:16:30,800 --> 00:16:33,600
sea una cosa mucho más divertida
y mucho más dinámica
325
00:16:33,680 --> 00:16:36,480
y que no quede solamente
entre dos personas
326
00:16:37,440 --> 00:16:39,280
o una posición de profesor ahí
327
00:16:39,360 --> 00:16:41,000
completamente
aislada de los alumnos,
328
00:16:41,080 --> 00:16:45,040
sino que en la clase
estamos para coexistir todos.
329
00:16:45,400 --> 00:16:47,640
Entonces, si los docentes
no tenemos en cuenta
330
00:16:47,720 --> 00:16:49,520
que hay alumnos del otro lado,
331
00:16:49,600 --> 00:16:52,240
no tienen demasiado sentido
las clases.
332
00:16:53,520 --> 00:16:56,200
-Si querés te puedo ganar otra vez.
-Dale.
333
00:16:56,280 --> 00:16:59,920
[Música instrumental suave]
334
00:17:00,000 --> 00:17:01,040
[Riiing]
335
00:17:01,120 --> 00:17:03,640
[Música alegre]
336
00:17:03,720 --> 00:17:06,600
(Adrián Paenza)
Hace un ratito, teníamos un reloj
y queríamos saber
337
00:17:06,680 --> 00:17:09,440
por dónde se podría hacer un corte
en línea recta
338
00:17:09,520 --> 00:17:11,720
de manera tal que la suma
de los números
339
00:17:11,800 --> 00:17:15,040
que queden en cada uno de los lados
dé el mismo resultado.
340
00:17:15,800 --> 00:17:18,320
Si uno traza la línea por acá,
341
00:17:18,760 --> 00:17:23,080
tiene de cada lado seis números,
que sumados dan treinta y nueve.
342
00:17:23,560 --> 00:17:24,640
Haga la prueba.
343
00:17:25,320 --> 00:17:31,120
[Música alegre]
344
00:17:31,360 --> 00:17:34,000
[Música suave]
345
00:17:34,080 --> 00:17:37,600
Cuando uno habla de los infinitos,
uno naturalmente
346
00:17:37,680 --> 00:17:40,240
lo primero que piensa
es que va a hablar de matemática.
347
00:17:40,320 --> 00:17:44,520
Pero hay alguna ligación también
entre la matemática y la física
348
00:17:44,600 --> 00:17:46,640
cuando uno dice:
"Voy a tirar una piedra
349
00:17:46,720 --> 00:17:50,160
desde cien metros de altura.
¿A qué velocidad cae?".
350
00:17:52,400 --> 00:17:54,040
Vamos a pensar juntos.
351
00:17:54,320 --> 00:17:58,400
Uno tiene una piedra y la va a tirar
desde cien metros de altura.
352
00:17:58,600 --> 00:18:00,560
Uno podría decir:
"Voy a hacer lo siguiente,
353
00:18:00,640 --> 00:18:03,280
voy a estimar el tiempo que tarda
354
00:18:03,360 --> 00:18:06,360
y voy a medir justamente
con un cronómetro
355
00:18:06,440 --> 00:18:09,400
desde que la lancé hasta
que se estrelle contra el piso".
356
00:18:09,480 --> 00:18:14,160
La lanzo de cien metros y descubro
que llega al piso aproximadamente
357
00:18:14,240 --> 00:18:17,400
–y todas las cuentas que voy
a hacer acá son aproximadas–,
358
00:18:17,480 --> 00:18:20,520
tarda aproximadamente
cuatro segundos y medio.
359
00:18:20,800 --> 00:18:23,280
Entonces, uno podría decir:
"Voy a hacerlo con cinco
360
00:18:23,360 --> 00:18:26,480
tanto como para que las cuentas
sean más fáciles".
361
00:18:26,600 --> 00:18:30,000
Si fuera que tardó cinco segundos
cien metros,
362
00:18:30,080 --> 00:18:33,640
uno podría decir la velocidad
a la que fue la piedra.
363
00:18:33,720 --> 00:18:37,640
Hago cien dividido cinco
y da veinte metros por segundo.
364
00:18:37,960 --> 00:18:40,120
Si uno lo quisiera ajustar
un poquito más,
365
00:18:40,200 --> 00:18:42,880
como en realidad
tarda cuatro segundos y medio,
366
00:18:42,960 --> 00:18:45,720
entonces, cien dividido
cuatro segundos y medio
367
00:18:45,800 --> 00:18:49,320
da un promedio de unos
veintidós metros por segundo.
368
00:18:49,640 --> 00:18:53,520
Es decir, la piedra está cayendo,
en promedio,
369
00:18:53,600 --> 00:18:55,800
a veintidós metros por segundo.
370
00:18:56,880 --> 00:18:59,720
Pero como ustedes se imaginan,
en realidad, eso--
371
00:18:59,800 --> 00:19:03,760
ese cálculo que estamos haciendo
es muy estimativo
372
00:19:03,840 --> 00:19:05,320
porque uno está perdiendo de vista
373
00:19:05,400 --> 00:19:08,880
que la piedra, al principio,
cae con una velocidad menor
374
00:19:08,960 --> 00:19:10,560
que la que tiene
cuando uno llega al piso.
375
00:19:10,640 --> 00:19:12,440
Es decir,
yo no quiero llegar al piso,
376
00:19:12,520 --> 00:19:13,920
quiero que llegue la piedra.
377
00:19:14,000 --> 00:19:16,880
Entonces, en lugar de cronometrar
solamente arriba,
378
00:19:16,960 --> 00:19:18,560
en el momento que lanzo la piedra,
379
00:19:18,640 --> 00:19:20,840
o abajo, desde el momento
que alguien la tira,
380
00:19:20,920 --> 00:19:23,040
voy a hacer una cosa,
voy a poner una persona
381
00:19:23,120 --> 00:19:26,440
que esté a una altura de cincuenta
metros con un cronómetro
382
00:19:26,520 --> 00:19:29,920
y, cuando pasa la piedra,
él en ese momento apriete
383
00:19:30,000 --> 00:19:32,040
y medimos el tiempo
que tarda en caer,
384
00:19:32,120 --> 00:19:35,200
ahora desde cincuenta metros,
a ver qué pasa.
385
00:19:35,280 --> 00:19:38,800
Cuando medimos así,
resulta que la piedra llega al piso
386
00:19:38,880 --> 00:19:41,240
en, aproximadamente,
un segundo y medio.
387
00:19:41,480 --> 00:19:43,120
Se dan cuenta, entonces,
388
00:19:43,200 --> 00:19:45,920
de que, si antes tardaba
cuatro segundos y medio
389
00:19:46,000 --> 00:19:49,600
y ahora tarda un segundo y medio
en caer desde cincuenta metros,
390
00:19:49,680 --> 00:19:52,720
la piedra está adquiriendo
cada vez más velocidad.
391
00:19:52,920 --> 00:19:56,680
Ahora sí, si divido, entonces,
los cincuenta metros
392
00:19:56,760 --> 00:19:58,760
dividido un segundo y medio
393
00:19:58,840 --> 00:20:02,040
da que está yendo la piedra
a una velocidad aproximada
394
00:20:02,120 --> 00:20:04,600
de treinta y tres metros
por segundo.
395
00:20:05,400 --> 00:20:08,800
Una vez más,
si vuelvo a medir, entonces,
396
00:20:08,880 --> 00:20:11,640
quiere decir
que la velocidad promedio cambia.
397
00:20:12,600 --> 00:20:15,240
Ahora,
en lugar de poner un cronómetro
398
00:20:15,320 --> 00:20:17,880
o una persona, un cronometrista
a cincuenta metros,
399
00:20:17,960 --> 00:20:19,560
lo pongo a veinte metros,
400
00:20:19,640 --> 00:20:22,320
o sea, ya cuando la piedra
recorrió ochenta metros,
401
00:20:22,400 --> 00:20:24,720
y, cuando está a veinte,
pongo un cronómetro y lo largo.
402
00:20:24,800 --> 00:20:27,200
En ese momento,
descubro que, cuando mido,
403
00:20:27,280 --> 00:20:29,480
tarda aproximadamente medio segundo
404
00:20:29,560 --> 00:20:31,240
y vuelvo a dividir, entonces,
405
00:20:31,320 --> 00:20:33,760
los veinte metros
dividido medio segundo
406
00:20:33,840 --> 00:20:35,880
y resulta que la piedra
está viajando
407
00:20:35,960 --> 00:20:39,600
a una velocidad promedio
de cuarenta metros por segundo.
408
00:20:39,960 --> 00:20:42,600
Y, si uno pudiera hacer la cuenta
en el extremo,
409
00:20:42,680 --> 00:20:45,480
tendría que poner
otros cronometristas.
410
00:20:45,560 --> 00:20:46,600
En realidad,
411
00:20:46,680 --> 00:20:50,040
lo que uno siempre calcula
es una velocidad promedio.
412
00:20:50,360 --> 00:20:52,840
No se puede calcular
la velocidad instantánea
413
00:20:52,920 --> 00:20:56,720
salvo que uno tuviera
un cronometrista por punto
414
00:20:56,800 --> 00:20:59,280
y, a medida que me voy acercando,
hubiera--
415
00:20:59,360 --> 00:21:00,480
Y hay infinitos puntos.
416
00:21:00,560 --> 00:21:02,480
Para cada punto
tengo un cronometrista
417
00:21:02,560 --> 00:21:06,080
y voy midiendo, midiendo, midiendo,
cada vez en alturas más bajas.
418
00:21:06,160 --> 00:21:08,760
Si así lo hiciera, en el límite,
419
00:21:08,840 --> 00:21:11,400
la piedra está llegando,
está viajando,
420
00:21:11,480 --> 00:21:13,200
a una velocidad promedio
421
00:21:13,280 --> 00:21:15,600
de cuarenta y cinco metros
por segundo.
422
00:21:16,280 --> 00:21:20,600
Es decir que, si bien uno se maneja
con promedios y hace bien,
423
00:21:20,680 --> 00:21:23,800
en el límite, cuantos más ejemplos,
424
00:21:23,880 --> 00:21:26,680
cuantas más mediciones uno tenga,
425
00:21:26,760 --> 00:21:30,600
más aproximado es el cálculo
426
00:21:30,680 --> 00:21:32,800
o la estimación que está haciendo.
427
00:21:32,880 --> 00:21:37,840
[Música suave]
428
00:21:37,920 --> 00:21:41,080
[Música alegre]
429
00:21:41,160 --> 00:21:43,240
(Pettinato como Gato de Verdaguer)
Hola, ¿qué tal? ¿Cómo les va?
430
00:21:43,320 --> 00:21:46,640
Le voy a contar este chiste
a la gente que le gusta.
431
00:21:46,720 --> 00:21:49,560
Desafían a un ingeniero
y a un matemático
432
00:21:50,280 --> 00:21:52,280
a rodear el mayor parque posible
433
00:21:52,360 --> 00:21:54,920
para una casa
con un cerco de cien metros.
434
00:21:55,000 --> 00:21:56,920
El ingeniero dice:
435
00:21:57,000 --> 00:21:58,920
"Hago un cerco circular
y logro rodear
436
00:21:59,000 --> 00:22:01,000
casi ochocientos metros cuadrados
del parque".
437
00:22:01,080 --> 00:22:03,000
El matemático piensa un poco,
438
00:22:03,360 --> 00:22:06,560
se rodea a sí mismo
con un cerco pequeñito y dice:
439
00:22:06,840 --> 00:22:08,240
"Yo estoy del lado de afuera
440
00:22:08,320 --> 00:22:11,320
y así consigo casi toda
la superficie de la Tierra".
441
00:22:11,400 --> 00:22:12,960
[Risas]
442
00:22:13,680 --> 00:22:19,080
[Música alegre]
443
00:22:20,520 --> 00:22:22,680
(Adrián Paenza)
Hagamos números.
444
00:22:23,160 --> 00:22:26,040
No siempre el mundo
fue un lugar lleno de gente.
445
00:22:26,480 --> 00:22:28,440
Diez mil años antes de Cristo,
446
00:22:28,520 --> 00:22:30,680
la Tierra era un lugar
bastante cómodo
447
00:22:30,760 --> 00:22:34,320
donde solo vivían aproximadamente
cuatro millones de personas,
448
00:22:34,400 --> 00:22:38,400
algo más que la población que hoy
tiene la Ciudad de Buenos Aires.
449
00:22:39,280 --> 00:22:41,360
Cincuenta años después de Cristo,
450
00:22:41,440 --> 00:22:45,040
se calcula que había alrededor
de 300 millones de seres humanos
451
00:22:45,120 --> 00:22:47,120
que estaban poblando el planeta,
452
00:22:47,200 --> 00:22:50,720
un poco menos de los que hoy somos
la América hispana.
453
00:22:52,000 --> 00:22:56,600
Mil seiscientos años después,
o sea, en el 1650,
454
00:22:56,680 --> 00:22:59,880
la población mundial
había crecido bastante poco;
455
00:22:59,960 --> 00:23:02,760
por entonces,
éramos cerca de 500 millones
456
00:23:03,400 --> 00:23:07,120
Pero, en solo ciento cincuenta años,
los humanos nos duplicamos.
457
00:23:07,680 --> 00:23:11,320
En 1800,
llegamos a ser mil millones.
458
00:23:12,080 --> 00:23:14,680
La población del planeta
volvió a duplicarse,
459
00:23:14,760 --> 00:23:17,680
pero, esta vez, tardó menos:
ciento treinta años.
460
00:23:18,400 --> 00:23:22,080
En el año 1930,
éramos dos mil millones.
461
00:23:22,920 --> 00:23:27,240
Ahora, estamos rondando
la cifra de 6500 millones de almas
462
00:23:27,320 --> 00:23:29,160
en un mundo superpoblado.
463
00:23:29,840 --> 00:23:32,760
Los problemas de agua,
alimentos y energía
464
00:23:32,840 --> 00:23:35,000
que preocupan
a los líderes mundiales
465
00:23:35,080 --> 00:23:36,960
serán recordados con nostalgia
466
00:23:37,040 --> 00:23:38,880
cuando en el año 2050
467
00:23:38,960 --> 00:23:41,760
seamos 9100 millones de personas
468
00:23:41,840 --> 00:23:44,200
intentando sobrevivir
en esta Tierra.
469
00:23:49,800 --> 00:23:51,520
Para terminar,
quiero plantear un problema
470
00:23:51,600 --> 00:23:54,760
que tiene que ver
con algo supersticioso.
471
00:23:54,840 --> 00:23:57,760
Hay mucha gente que está preocupada
porque en su vida,
472
00:23:57,840 --> 00:24:00,040
cuando hay un martes 13,
473
00:24:00,120 --> 00:24:02,400
piensa que ese día
le va a traer mala suerte.
474
00:24:02,480 --> 00:24:04,520
Entonces, la pregunta podría ser--
475
00:24:04,600 --> 00:24:05,680
Obviamente yo no creo en eso
476
00:24:05,760 --> 00:24:08,200
y creo que cualquier cosa
que está ligada con la matemática
477
00:24:08,280 --> 00:24:10,120
está efectivamente
en la antípoda de eso,
478
00:24:10,200 --> 00:24:11,560
pero la pregunta es esta:
479
00:24:11,640 --> 00:24:15,720
¿Puede ser que haya algún año
en donde no haya ningún martes 13?
480
00:24:15,800 --> 00:24:18,200
Y lo que quiero mostrar,
ahora voy a decir cómo,
481
00:24:18,280 --> 00:24:20,160
lo que voy a mostrar
es que eso es imposible.
482
00:24:20,240 --> 00:24:21,760
No importa el año.
483
00:24:21,840 --> 00:24:23,560
Yo voy a elegir el año 2008
para mostrarlo,
484
00:24:23,640 --> 00:24:26,920
pero, en realidad,
cualquier año funciona igual.
485
00:24:27,000 --> 00:24:29,000
¿Y por qué digo
que cualquier año funciona igual?
486
00:24:29,080 --> 00:24:32,200
Porque lo que voy a mostrar
es que, pase lo que pase,
487
00:24:32,280 --> 00:24:34,560
siempre, en cualquier calendario,
488
00:24:34,640 --> 00:24:38,280
tiene que haber un sábado 13,
un domingo 13, un lunes 13,
489
00:24:38,360 --> 00:24:40,160
un martes 13, un miércoles 13.
490
00:24:40,240 --> 00:24:42,440
O sea, todos los días de la semana,
491
00:24:42,520 --> 00:24:45,160
tienen que caer
alguna vez en día 13,
492
00:24:45,240 --> 00:24:48,480
con lo cual, pase lo que pase,
habrá un martes 13.
493
00:24:48,560 --> 00:24:50,000
Y fíjense qué pasa.
494
00:24:50,080 --> 00:24:51,280
Tomemos un calendario cualquiera.
495
00:24:51,360 --> 00:24:54,360
Elegimos el del año 2008,
pero podría ser con cualquiera.
496
00:24:54,440 --> 00:24:55,600
Miren lo que hay.
497
00:24:55,680 --> 00:24:58,720
El domingo está acá, que es 13.
498
00:24:59,280 --> 00:25:01,800
El lunes está acá, que es 13.
499
00:25:02,160 --> 00:25:03,520
Ahora voy a seguir.
500
00:25:03,640 --> 00:25:05,640
Acá está el martes 13.
501
00:25:06,320 --> 00:25:09,200
El miércoles, en este caso.
502
00:25:09,280 --> 00:25:11,040
El jueves, en este caso.
503
00:25:11,880 --> 00:25:13,760
El viernes acá.
504
00:25:14,160 --> 00:25:15,680
Y el sábado acá.
505
00:25:16,440 --> 00:25:18,320
Incluso podría haber más,
506
00:25:18,400 --> 00:25:20,400
o sea, podría haber otros martes 13,
507
00:25:20,480 --> 00:25:22,840
pero no importa,
lo que está garantizado
508
00:25:22,920 --> 00:25:26,520
es que, por lo menos un martes,
tiene que ser 13
509
00:25:26,600 --> 00:25:28,160
a lo largo de cualquier año
510
00:25:28,240 --> 00:25:30,280
porque fíjense
que hemos logrado mostrar
511
00:25:30,360 --> 00:25:34,280
que, como esto no está afectado
porque no toco el mes de febrero,
512
00:25:34,360 --> 00:25:38,400
esto quiere decir que sea bisiesto,
no sea bisiesto, haya veintinueve...
513
00:25:38,480 --> 00:25:39,560
No importa.
514
00:25:39,640 --> 00:25:42,840
Siempre tiene que haber
algún martes en cualquier año
515
00:25:42,920 --> 00:25:44,360
que caiga día 13.
516
00:25:44,760 --> 00:25:47,880
La matemática, obviamente,
no se dedica solamente a hacer esto.
517
00:25:47,960 --> 00:25:49,840
Solamente que,
si a alguna persona le interesa--
518
00:25:49,920 --> 00:25:51,720
En realidad, en Estados Unidos,
por ejemplo,
519
00:25:51,800 --> 00:25:54,960
en lugar de martes 13
a ellos les preocupa el viernes 13,
520
00:25:55,040 --> 00:25:56,080
pero no importa.
521
00:25:56,160 --> 00:25:58,720
En cualquier año,
también hay un viernes 13.
522
00:25:59,800 --> 00:26:02,840
Este programa tiene la intención
de invitarlos a pensar
523
00:26:03,120 --> 00:26:04,440
y, además, a divertirse
524
00:26:04,520 --> 00:26:07,080
y, además,
a proponerse cosas creativas.
525
00:26:07,160 --> 00:26:09,960
Y lo que queremos hacer
es seducirlos con esto,
526
00:26:10,040 --> 00:26:11,480
seducirlos con la capacidad,
527
00:26:11,560 --> 00:26:15,120
la habilidad para tomar decisiones
cada vez más racionales.
528
00:26:15,200 --> 00:26:16,920
Chau y muchísimas gracias.
529
00:26:22,840 --> 00:26:28,840
[Música de cierre]