1
00:00:00,200 --> 00:00:06,200
[Música suave]
2
00:00:06,960 --> 00:00:09,080
(Adrián Paenza)
La utilidad práctica
de las matemáticas
3
00:00:09,160 --> 00:00:11,080
creo que ya no está más
en discusión,
4
00:00:11,160 --> 00:00:14,800
más allá de si se las presenta
de manera atractiva o no,
5
00:00:14,880 --> 00:00:18,440
pero su valor supremo reside,
más que en su practicidad,
6
00:00:18,520 --> 00:00:20,160
en lo que provoca.
7
00:00:20,240 --> 00:00:22,760
La matemática obliga a pensar.
8
00:00:22,840 --> 00:00:25,560
Un concepto simple
como el de las series
9
00:00:25,640 --> 00:00:30,400
nos pone solo en el punto de partida
para ir más allá, hacia el infinito.
10
00:00:33,200 --> 00:00:35,840
El griego Zenón de Elea
abrió un camino
11
00:00:35,920 --> 00:00:37,680
sin siquiera saberlo.
12
00:00:37,760 --> 00:00:39,120
Este filósofo decía,
13
00:00:39,200 --> 00:00:41,600
hace unos dos mil
cuatrocientos años,
14
00:00:41,680 --> 00:00:43,760
que era imposible sumar
una serie infinita
15
00:00:43,840 --> 00:00:46,360
para lograr un resultado finito;
16
00:00:46,440 --> 00:00:49,560
que las sensaciones que obtenemos
del mundo son ilusorias
17
00:00:49,640 --> 00:00:52,960
y que, concretamente,
no existe el movimiento.
18
00:00:55,440 --> 00:00:58,800
Zenón aseguraba,
desde un punto de vista racional,
19
00:00:58,880 --> 00:01:01,480
que una persona
no puede recorrer un segmento
20
00:01:01,560 --> 00:01:04,360
porque primero debe llegar
a la mitad de este
21
00:01:04,440 --> 00:01:06,960
y antes, a la mitad de la mitad,
22
00:01:07,040 --> 00:01:11,240
pero, aún antes, debería recorrer
la mitad de la mitad de la mitad
23
00:01:11,320 --> 00:01:13,160
y así hasta el infinito.
24
00:01:14,720 --> 00:01:15,760
De este modo,
25
00:01:15,840 --> 00:01:19,320
una persona no puede recorrer
un segmento de ninguna longitud,
26
00:01:19,400 --> 00:01:22,560
aunque los sentidos muestren
que eso sí es posible.
27
00:01:23,840 --> 00:01:25,560
A partir de ese momento,
28
00:01:25,640 --> 00:01:28,120
fueron muchos los que abordaron
estas paradojas
29
00:01:28,200 --> 00:01:29,960
y finalmente Arquímedes
30
00:01:30,040 --> 00:01:33,320
terminó demostrando
que era posible sumar infinitos
31
00:01:33,400 --> 00:01:35,760
y llegar a un resultado finito,
32
00:01:35,840 --> 00:01:38,360
y que, por ende,
el movimiento existe.
33
00:01:39,840 --> 00:01:42,640
Zenón estaba equivocado
en su paradoja,
34
00:01:42,720 --> 00:01:47,480
pero su acierto pasó por otro lado:
logró que nos pusiéramos a pensar.
35
00:01:48,440 --> 00:01:54,440
[Música suave]
36
00:01:56,960 --> 00:02:02,960
[Música de presentación]
37
00:02:31,320 --> 00:02:32,600
Buenas.
38
00:02:33,240 --> 00:02:34,880
Bienvenidos.
39
00:02:34,960 --> 00:02:38,080
Esto es "Alterados por pi"
en el canal Encuentro.
40
00:02:38,160 --> 00:02:40,720
Hoy vamos a hablar de series.
41
00:02:40,800 --> 00:02:42,640
¿Qué es una serie?
42
00:02:43,000 --> 00:02:44,280
Yo quiero hacerles una pregunta.
43
00:02:44,360 --> 00:02:46,720
Uno en la vida, en general,
está acostumbrado a sumar,
44
00:02:46,800 --> 00:02:48,040
a restar, multiplicar y dividir,
45
00:02:48,120 --> 00:02:52,840
pero, cuando uno suma,
en general suma finitos números.
46
00:02:52,920 --> 00:02:56,200
¿No? Uno suma dos, más tres--
Pueden ser muchos números,
47
00:02:56,280 --> 00:02:58,080
pero son finitos,
en algún momento se termina
48
00:02:58,160 --> 00:02:59,680
la lista de números que uno suma.
49
00:02:59,760 --> 00:03:01,360
La pregunta
que uno podría hacerse es:
50
00:03:01,440 --> 00:03:04,480
¿se podrán sumar
infinitos números?
51
00:03:04,560 --> 00:03:08,200
O sea, ¿tendrá sentido preguntarse?
Incluso, ¿tiene sentido preguntarse
52
00:03:08,280 --> 00:03:11,080
si uno puede sumar
infinitos números?
53
00:03:11,160 --> 00:03:14,800
Más, hay que decir qué querría decir
sumar infinitos números
54
00:03:14,880 --> 00:03:17,240
porque ¿cómo termina uno
de sumarlos?
55
00:03:17,320 --> 00:03:20,880
Si son infinitos, empieza a sumar,
a sumar, a sumar y nunca termina.
56
00:03:20,960 --> 00:03:22,880
O sea, tendría que haber una manera
57
00:03:22,960 --> 00:03:25,400
de ver qué quiere decir
sumar infinitos números.
58
00:03:25,480 --> 00:03:29,760
Por otro lado, vamos a suponer
que yo sumara uno, más uno,
59
00:03:29,840 --> 00:03:31,520
más uno, más uno, más uno,
60
00:03:31,600 --> 00:03:35,040
¿qué va a pasar con eso
si sigo sumando así indefinidamente?
61
00:03:36,040 --> 00:03:37,960
Cada vez va a ser
un número más grande
62
00:03:38,040 --> 00:03:42,360
y, a medida que siga sumando,
si pudiera sumar infinitamente,
63
00:03:42,440 --> 00:03:43,960
eso tendería a infinito.
64
00:03:44,040 --> 00:03:45,400
Entonces, uno podría preguntarse
65
00:03:45,480 --> 00:03:49,280
qué pasaría si yo voy sumando
números positivos
66
00:03:49,360 --> 00:03:51,040
de la forma
en la que acabo de decir.
67
00:03:51,120 --> 00:03:53,000
¿Se podrá sumar infinitamente
68
00:03:53,080 --> 00:03:56,760
de manera tal de llegar
a un número que no sea infinito?
69
00:03:56,840 --> 00:03:59,720
Lo que vamos a hacer ahora
y yo le voy a pedir a alguien--
70
00:03:59,800 --> 00:04:02,480
Vengan dos personas cualesquiera,
a ver, vamos a elegir.
71
00:04:02,560 --> 00:04:04,920
Vos querés venir
porque te preparaste para venir.
72
00:04:05,000 --> 00:04:06,160
¿Sí? ¿No? Vení.
73
00:04:06,240 --> 00:04:08,080
Dejá las cosas ahí y vení conmigo.
74
00:04:08,160 --> 00:04:10,880
¿Vos querés venir también?
Vení, vos ponete acá.
75
00:04:11,400 --> 00:04:12,960
Miren lo que pasa.
¿Cómo es tu nombre?
76
00:04:13,040 --> 00:04:14,360
-Wendy.
-Wendy.
77
00:04:14,760 --> 00:04:15,960
Mirá qué lindo nombre.
78
00:04:16,040 --> 00:04:18,080
Bueno. ¿Y vos cómo te llamás?
79
00:04:18,200 --> 00:04:19,240
-¿Cómo?
-Ernesto.
80
00:04:19,320 --> 00:04:21,080
-Ernesto, ¿cómo te va, Ernesto?
-Todo bien.
81
00:04:21,160 --> 00:04:22,720
Ponete--
82
00:04:22,800 --> 00:04:25,360
Vení, aparte hagámonos así
y muchas cosas más.
83
00:04:25,440 --> 00:04:27,600
Ponete ahí donde está la liñita esa.
84
00:04:28,040 --> 00:04:29,480
Vamos a hacer una cosa:
85
00:04:29,560 --> 00:04:32,680
yo quiero que ahora Wendy
trate de llegar a Ernesto.
86
00:04:33,320 --> 00:04:35,440
Mirá, te tocó bastante bien, ¿no?
87
00:04:36,200 --> 00:04:38,600
Vamos a suponer que están
a esta distancia,
88
00:04:38,680 --> 00:04:41,200
que supongamos
que fueran dos metros.
89
00:04:41,280 --> 00:04:42,960
Es un poco más que dos metros esto.
90
00:04:43,040 --> 00:04:46,640
Y cada paso que va a dar Wendy
tratando de acercarse a Ernesto
91
00:04:46,720 --> 00:04:48,880
es la mitad de lo que le falta.
92
00:04:48,960 --> 00:04:50,680
Ella está ahora a una distancia
93
00:04:50,760 --> 00:04:54,400
supongamos,
imaginariamente de dos metros,
94
00:04:54,480 --> 00:04:55,680
que, en realidad, son seis,
95
00:04:55,760 --> 00:04:57,600
pero supongamos
que fuera de dos metros
96
00:04:57,680 --> 00:04:59,400
y cada paso que ella da
97
00:04:59,480 --> 00:05:02,280
va a ser la mitad
de lo que le falta para llegar.
98
00:05:02,360 --> 00:05:05,560
Entonces, con el primer paso,
llegá hasta aquí.
99
00:05:05,640 --> 00:05:07,920
Cuando llegó hasta aquí,
¿cuánto recorrió ella?
100
00:05:08,000 --> 00:05:10,560
Si eran dos metros los que había,
¿cuánto recorrió?
101
00:05:10,640 --> 00:05:12,720
-Un metro.
-Recorrió un metro.
102
00:05:12,800 --> 00:05:15,040
¿Ahora cuánto es
la mitad de lo que le falta?
103
00:05:15,120 --> 00:05:17,720
-Cincuenta.
-O sea, un medio.
104
00:05:17,800 --> 00:05:18,920
Medio metro.
105
00:05:19,000 --> 00:05:20,240
Recorrelo.
106
00:05:21,680 --> 00:05:23,240
Voy a anotar acá rápido.
107
00:05:23,320 --> 00:05:24,640
Uno más un medio.
108
00:05:25,400 --> 00:05:28,640
Ahora Wendy va a caminar
la mitad de lo que le falta.
109
00:05:28,720 --> 00:05:30,920
-¿Ahora cuánto le falta?
-Un cuarto.
110
00:05:31,000 --> 00:05:33,720
Ahí está, llegó hasta ahí.
No te acerques mucho, Wendy.
111
00:05:33,800 --> 00:05:34,840
[Risas]
112
00:05:34,920 --> 00:05:37,880
Un cuarto.
¿Ahora qué es lo que le falta?
113
00:05:37,960 --> 00:05:40,520
El próximo paso,
si ahora le falta un cuarto,
114
00:05:40,600 --> 00:05:43,880
va a ser la mitad de un cuarto,
o sea, un octavo,
115
00:05:43,960 --> 00:05:45,040
¿estamos de acuerdo?
116
00:05:45,120 --> 00:05:46,480
Acercate ahí.
117
00:05:46,560 --> 00:05:47,640
Pobre, Wendy.
118
00:05:47,720 --> 00:05:51,520
Entonces, queda un octavo acá abajo.
119
00:05:52,280 --> 00:05:54,120
¿El próximo paso cuánto va a ser?
120
00:05:54,200 --> 00:05:56,120
-Un dieciseisavo.
-Un dieciseisavo.
121
00:05:56,200 --> 00:05:58,080
¿Te podrías acercar hasta ahí?
122
00:05:58,160 --> 00:06:00,720
Cuando sentís que ya se compromete,
me avisás.
123
00:06:00,800 --> 00:06:05,360
Entonces,
queda un dieciseisavo más--
124
00:06:06,560 --> 00:06:08,120
-Wendy.
-No.
125
00:06:08,200 --> 00:06:09,160
-Ya no.
-No.
126
00:06:09,240 --> 00:06:13,560
Bueno, si pudiera imaginariamente
avanzar de esta forma,
127
00:06:13,640 --> 00:06:17,640
haciendo pasos que son
la mitad de lo que le falta,
128
00:06:17,720 --> 00:06:20,640
primera pregunta:
¿sigo sumando números ahí?
129
00:06:20,720 --> 00:06:22,680
-Sí.
-¿Son números positivos todos?
130
00:06:22,760 --> 00:06:23,880
-Sí.
-Sí.
131
00:06:23,960 --> 00:06:25,560
Voy a ir sumando ¿y qué va a pasar?
132
00:06:25,640 --> 00:06:28,280
¿Ella va a llegar
alguna vez hasta Ernesto?
133
00:06:28,360 --> 00:06:30,560
-No.
-No llega hasta Ernesto,
134
00:06:30,640 --> 00:06:33,160
pero lo que sí va a pasar
es ¿qué cosa?
135
00:06:33,240 --> 00:06:36,880
Se va a acercar tanto como quiera
a Ernesto.
136
00:06:36,960 --> 00:06:41,480
O sea, ella va a poder dar pasos
cada vez más chicos.
137
00:06:41,560 --> 00:06:44,120
Ella llegar a Ernesto
no va a llegar nunca
138
00:06:44,200 --> 00:06:46,000
con un número finito de pasos,
139
00:06:46,080 --> 00:06:49,160
pero, en definitiva,
lo que uno podría concluir de acá
140
00:06:49,240 --> 00:06:51,160
es que, si uno sumara esto,
141
00:06:51,240 --> 00:06:54,160
uno sobre treinta y dos
más uno sobre sesenta y cuatro,
142
00:06:54,240 --> 00:06:56,000
que sería lo mismo que decir esto:
143
00:06:56,080 --> 00:07:00,240
uno más uno sobre dos,
más uno sobre dos al cuadrado,
144
00:07:00,320 --> 00:07:04,080
más uno sobre dos al cubo,
más uno sobre dos a la cuarta,
145
00:07:04,160 --> 00:07:07,400
más uno sobre dos a la quinta,
más uno sobre dos a la sexta--
146
00:07:07,480 --> 00:07:10,040
¿Todo esto cuánto tendría que sumar?
147
00:07:11,080 --> 00:07:12,800
Si uno pudiera sumar
indefinidamente,
148
00:07:12,880 --> 00:07:14,440
-díganmelo con fuerza.
-¡Dos!
149
00:07:14,520 --> 00:07:18,520
Tendría que sumar dos.
Gracias a ustedes.
150
00:07:18,600 --> 00:07:21,480
Gracias, Ernesto,
gracias por tu participación.
151
00:07:21,560 --> 00:07:23,360
[Aplausos]
152
00:07:23,440 --> 00:07:27,480
¿Esto se dan cuenta de que suma dos?
153
00:07:27,880 --> 00:07:32,240
Hemos puesto un marco de referencia
154
00:07:32,320 --> 00:07:36,560
en donde, de pronto,
se pueden sumar infinitos números
155
00:07:36,640 --> 00:07:38,480
y, en realidad,
lo que uno está haciendo
156
00:07:38,560 --> 00:07:40,480
no es tender a infinito,
157
00:07:40,560 --> 00:07:44,040
lo que está haciendo es acercarse
a un número muy preciso,
158
00:07:44,120 --> 00:07:45,960
en este caso, al número dos.
159
00:07:46,040 --> 00:07:49,240
Y, es más, uno podría decir:
"¿Cómo sumo? ¿Cómo hacía Wendy?".
160
00:07:49,320 --> 00:07:51,280
Primero, hizo el primer paso.
161
00:07:51,360 --> 00:07:53,640
Después, hizo otro paso más.
162
00:07:53,720 --> 00:07:55,200
Entonces, es uno.
163
00:07:55,360 --> 00:07:57,320
Después, es uno más un medio.
164
00:07:57,400 --> 00:08:01,000
Después, es uno más un medio,
más uno sobre dos al cuadrado.
165
00:08:01,080 --> 00:08:06,880
Acá estoy marcando cada uno
de los pasos que fue dando Wendy,
166
00:08:06,960 --> 00:08:08,000
¿estamos de acuerdo?
167
00:08:08,080 --> 00:08:11,040
Primero, llegó hasta el metro;
después, llegó al metro y medio;
168
00:08:11,120 --> 00:08:15,160
después, llegó al metro y medio
más un cuarto;
169
00:08:15,240 --> 00:08:16,360
después, más un octavo.
170
00:08:16,440 --> 00:08:20,240
Cada una de estas sumitas
se llama "sumitas parciales".
171
00:08:20,320 --> 00:08:22,440
Sumar finito sabemos,
172
00:08:22,520 --> 00:08:26,320
lo que pasa es que al ir aumentando
el número de sumas parciales,
173
00:08:26,400 --> 00:08:29,040
cuando voy llegando
cada vez más lejos,
174
00:08:29,120 --> 00:08:30,480
tan lejos como quiera,
175
00:08:30,560 --> 00:08:33,680
me voy a acercar al número dos
tanto como yo quiera.
176
00:08:33,760 --> 00:08:36,760
Llegar no voy a llegar
en un número finito de pasos,
177
00:08:36,840 --> 00:08:39,400
pero voy a estar
tan cerca como quiera.
178
00:08:39,480 --> 00:08:44,200
En ese sentido es que uno dice
que esto es la suma de una serie.
179
00:08:44,280 --> 00:08:45,600
Esto se llama una serie,
180
00:08:45,680 --> 00:08:48,960
la sucesión de sumas parciales
que converge a un número
181
00:08:49,040 --> 00:08:51,320
que es, en este caso, el número dos.
182
00:08:51,400 --> 00:08:54,000
Ahora vamos a ver otro ejemplo
parecido a este.
183
00:08:54,080 --> 00:08:57,200
Esto es lo que se llama
una serie geométrica.
184
00:08:57,280 --> 00:08:58,840
Serie geométrica.
185
00:09:00,480 --> 00:09:02,200
Serie geométrica.
186
00:09:02,280 --> 00:09:07,640
Y donde uno quiere marcar,
de alguna manera,
187
00:09:07,720 --> 00:09:10,560
que el paso que está dando
es un medio,
188
00:09:10,640 --> 00:09:14,320
o sea, la razón es un medio.
189
00:09:15,120 --> 00:09:18,040
Solamente para fijar las ideas
y poner los nombres
190
00:09:18,120 --> 00:09:20,880
tal cual como aparecen
en la literatura matemática.
191
00:09:20,960 --> 00:09:22,000
Hagamos un recreo
192
00:09:22,080 --> 00:09:24,440
y volvemos inmediatamente
aquí, en "Alterados por pi",
193
00:09:24,520 --> 00:09:26,040
hablando de series.
194
00:09:26,120 --> 00:09:32,120
[Aplausos]
195
00:09:32,360 --> 00:09:38,360
[Música alegre]
196
00:09:38,480 --> 00:09:40,280
[Música rítmica]
197
00:09:40,360 --> 00:09:42,720
(Adrián Paenza)
Todos en la escuela hemos dibujado
alguna vez
198
00:09:42,800 --> 00:09:44,680
la bisectriz de un ángulo.
199
00:09:44,760 --> 00:09:46,160
Sí, la bisectriz.
200
00:09:46,880 --> 00:09:48,320
¿Qué es la bisectriz?
201
00:09:48,400 --> 00:09:52,160
Es una semirrecta
que nace en el vértice del ángulo
202
00:09:52,240 --> 00:09:55,080
y lo divide en dos ángulos iguales.
203
00:09:55,160 --> 00:09:56,800
¿Se acuerda cómo se hacía?
204
00:09:56,880 --> 00:09:58,280
Vea, acompáñeme
205
00:09:58,360 --> 00:10:02,200
y hagamos, imaginariamente,
un viaje de retorno al colegio,
206
00:10:02,280 --> 00:10:05,320
pero antes lo quiero invitar
a resolver un problema
207
00:10:05,400 --> 00:10:07,320
que nos va a ayudar más adelante.
208
00:10:07,400 --> 00:10:10,920
¿Cómo hace uno
solamente con un compás
209
00:10:11,000 --> 00:10:12,080
para encontrar un punto
210
00:10:12,160 --> 00:10:16,160
que esté a la misma distancia
de otros dos? Fíjese.
211
00:10:18,600 --> 00:10:22,360
Tenemos estos dos puntos
a los que vamos a llamar A y B,
212
00:10:22,440 --> 00:10:26,320
y el compás está abierto,
por ejemplo, unos tres centímetros.
213
00:10:26,400 --> 00:10:29,360
Uno traza un círculo con centro en A
214
00:10:29,440 --> 00:10:31,960
y de esta forma logra
infinitos puntos
215
00:10:32,040 --> 00:10:34,440
que están a la misma distancia de A.
216
00:10:34,520 --> 00:10:35,680
Todos estos.
217
00:10:36,400 --> 00:10:39,640
Ahora, sin modificar
la abertura del compás,
218
00:10:39,720 --> 00:10:42,360
hacemos lo mismo, pero con B.
219
00:10:42,440 --> 00:10:46,120
¿Qué propiedad tiene el punto
en el que los círculos se tocan?
220
00:10:46,200 --> 00:10:50,240
Que están a la misma distancia
de A que de B.
221
00:10:50,320 --> 00:10:53,920
Con esta herramienta,
ahora vamos a calcular la bisectriz.
222
00:10:54,280 --> 00:10:56,720
Mantengamos la misma abertura
del compás
223
00:10:56,800 --> 00:10:58,160
y dibujemos un arco
224
00:10:58,240 --> 00:11:00,120
tomando como punto de apoyo
225
00:11:00,200 --> 00:11:02,560
el lugar en donde se cruzan
los dos círculos.
226
00:11:02,640 --> 00:11:05,160
Ese arco va a marcar un punto
227
00:11:05,240 --> 00:11:07,680
en cada una
de las semirrectas del ángulo,
228
00:11:07,760 --> 00:11:10,480
a los que llamaremos otra vez A y B.
229
00:11:13,040 --> 00:11:16,440
Después, apoyamos
la punta del compás en A
230
00:11:16,520 --> 00:11:18,920
y trazamos un arco nuevo
231
00:11:19,000 --> 00:11:22,920
y, sin mover la medida del compás,
hacemos lo mismo desde B.
232
00:11:23,000 --> 00:11:27,200
Después, lo que uno tiene que hacer
es unir este vértice
233
00:11:27,280 --> 00:11:30,720
con el punto en el que
los arcos trazados se tocan
234
00:11:30,800 --> 00:11:31,960
y listo.
235
00:11:32,040 --> 00:11:34,480
Ahí está nuestra bisectriz.
236
00:11:35,320 --> 00:11:41,320
[Música rítmica]
237
00:11:43,080 --> 00:11:46,960
[Música alegre]
238
00:11:47,040 --> 00:11:49,240
[Aplausos]
239
00:11:49,320 --> 00:11:54,040
Bueno, recién hablamos de lo que era
la serie geométrica
240
00:11:54,120 --> 00:11:56,200
o las series geométricas
241
00:11:56,280 --> 00:11:58,240
y uno tiene la tentación de pensar,
entonces,
242
00:11:58,320 --> 00:12:01,200
que cada vez que uno va a sumar
infinitos términos positivos,
243
00:12:01,280 --> 00:12:03,080
eso siempre va a converger.
244
00:12:03,160 --> 00:12:04,760
Y eso no es cierto.
245
00:12:04,840 --> 00:12:08,880
O sea, uno puede empezar a sumar
términos positivos
246
00:12:08,960 --> 00:12:10,760
que se hagan cada vez más chicos
247
00:12:10,840 --> 00:12:13,000
y, sin embargo,
esa suma va a divergir.
248
00:12:13,080 --> 00:12:17,640
Por ejemplo, está lo que se llama
la famosa serie armónica.
249
00:12:18,440 --> 00:12:22,760
La serie armónica sería sumar así:
250
00:12:23,000 --> 00:12:28,480
uno más un medio, más un tercio,
más un cuarto, más un quinto,
251
00:12:28,560 --> 00:12:30,440
más un sexto, etcétera.
252
00:12:30,520 --> 00:12:32,480
O sea, uno suma esto
253
00:12:32,560 --> 00:12:34,360
–que es muy parecido
a lo que hacíamos antes
254
00:12:34,440 --> 00:12:35,800
con la serie geométrica–
255
00:12:35,880 --> 00:12:38,080
y, sin embargo, esta serie--
256
00:12:38,160 --> 00:12:42,320
Fíjense, uno suma cada vez
números más chiquititos;
257
00:12:42,400 --> 00:12:46,120
un medio es más chico que uno,
un tercio es más chico que un medio,
258
00:12:46,200 --> 00:12:47,680
un cuarto
es más chico que un tercio,
259
00:12:47,760 --> 00:12:51,520
o sea, uno va sumando números
cada vez más chicos
260
00:12:51,600 --> 00:12:53,840
e incluso que se acercan a cero.
261
00:12:53,920 --> 00:12:57,880
En alguna parte estará por acá
el uno sobre cien mil.
262
00:12:57,960 --> 00:12:59,000
Bueno.
263
00:12:59,080 --> 00:13:01,280
Cada vez, los números
se van haciendo más chicos
264
00:13:01,360 --> 00:13:02,600
y tienden a cero.
265
00:13:02,680 --> 00:13:07,160
Esa es una condición necesaria
para que una serie converja,
266
00:13:07,240 --> 00:13:10,800
pero no es suficiente;
esta serie diverge,
267
00:13:10,880 --> 00:13:13,680
o sea, se agranda
tanto como uno quiera.
268
00:13:13,760 --> 00:13:16,240
Si ustedes dicen:
"A ver, sumame términos
269
00:13:16,320 --> 00:13:19,320
hasta que sumen más de cien mil",
270
00:13:19,400 --> 00:13:21,880
a lo mejor,
hay que recorrer muchísimo trecho,
271
00:13:21,960 --> 00:13:23,840
pero seguro
que se supera el cien mil.
272
00:13:23,920 --> 00:13:27,400
¿Y una cantidad para que supere
el un millón? También se supera.
273
00:13:27,480 --> 00:13:31,120
Es decir, cualquiera sea la barrera
que ustedes quieran poner,
274
00:13:31,200 --> 00:13:34,160
esta serie la pasa
a partir de algún momento.
275
00:13:34,240 --> 00:13:37,840
Eso significa que tiende a infinito
o que diverge.
276
00:13:37,920 --> 00:13:40,440
Y una manera interesante
de ver esto--
277
00:13:40,520 --> 00:13:44,800
Hagan de cuenta que esto es una mesa
y acá uno tiene libros.
278
00:13:44,880 --> 00:13:47,200
Si uno pone--
Todos los libros iguales,
279
00:13:47,280 --> 00:13:50,280
vamos a suponer que son todos
libros que pesan un kilo.
280
00:13:50,360 --> 00:13:54,320
Entonces, uno acá
hace sobresalir una mitad,
281
00:13:54,400 --> 00:13:56,360
o sea, esto mide un medio.
282
00:13:57,000 --> 00:13:59,320
O pesa un medio,
como ustedes quieran.
283
00:13:59,400 --> 00:14:01,440
Sobresale la mitad del libro.
284
00:14:01,520 --> 00:14:06,640
Esta parte de aquí es un cuarto,
o sea, sobresale un cuarto de libro.
285
00:14:06,720 --> 00:14:10,600
Esto que está aquí, aunque
no sea proporcional, es un sexto.
286
00:14:10,680 --> 00:14:15,840
Un octavo, un décimo
y acá sería un doceavo, etcétera.
287
00:14:15,920 --> 00:14:20,640
Entonces, si uno pone un medio
más un cuarto, más un sexto,
288
00:14:20,720 --> 00:14:23,960
más un octavo, más un décimo,
etcétera,
289
00:14:24,040 --> 00:14:27,120
si bien no es la serie armónica
como la de antes,
290
00:14:27,200 --> 00:14:29,280
es la mitad de la serie armónica.
291
00:14:29,360 --> 00:14:34,040
O sea, es un medio de uno
más un medio, más un tercio,
292
00:14:34,120 --> 00:14:36,880
más un cuarto, más un quinto,
etcétera
293
00:14:36,960 --> 00:14:41,040
y, si todo esto
se hacía tan grande como uno quería,
294
00:14:41,120 --> 00:14:44,480
la mitad también se hace tan grande
como uno pretenda,
295
00:14:44,560 --> 00:14:47,760
lo cual quiere decir que, si uno
pone los libros de esta forma
296
00:14:47,840 --> 00:14:51,800
–imagínense que uno va poniendo
cada vez más libros acá abajo–
297
00:14:51,880 --> 00:14:55,960
aunque no parezca, esta pila
cada vez se aleja más de la mesa,
298
00:14:56,040 --> 00:14:59,320
a tal punto que uno puede llegar
a cualquier parte que quiera.
299
00:14:59,400 --> 00:15:04,600
Esto es extraordinario y esto pasa
porque la serie armónica diverge.
300
00:15:04,680 --> 00:15:07,600
Hay también lo que se llaman
las series alternadas.
301
00:15:07,680 --> 00:15:11,080
Alternadas quiere decir que sumo
uno positivo, después uno negativo,
302
00:15:11,160 --> 00:15:12,880
uno positivo, uno negativo.
303
00:15:12,960 --> 00:15:16,960
Entonces, uno podría decir uno
menos uno, más uno, menos uno,
304
00:15:17,040 --> 00:15:20,920
más uno, menos uno,
más uno, etcétera,
305
00:15:21,280 --> 00:15:24,720
¿esto se acercará a algo?
306
00:15:24,800 --> 00:15:26,080
(Voz de chica)
No, cero.
307
00:15:26,160 --> 00:15:30,200
Uno tiene la tentación de decir
que esto se acerca a cero,
308
00:15:30,280 --> 00:15:32,080
pero otro dice a uno.
309
00:15:32,480 --> 00:15:35,040
Entonces, por ejemplo, si sumo así,
310
00:15:35,600 --> 00:15:39,080
uno menos uno más uno es sumar cero,
menos uno más uno es sumar cero.
311
00:15:39,160 --> 00:15:42,680
O sea, depende de cómo agrupe
esto va a acercarse a uno
312
00:15:42,760 --> 00:15:43,800
o ¿a qué se acercaría?
313
00:15:43,880 --> 00:15:46,160
-A cero.
-O a cero si voy sumando así.
314
00:15:46,240 --> 00:15:50,360
O sea, esta serie no tiene límite,
no se acerca a nada.
315
00:15:50,440 --> 00:15:53,120
No es ni a cero, ni a uno,
ni a menos uno, ni a nada.
316
00:15:53,200 --> 00:15:55,360
Esta serie no converge.
317
00:15:55,600 --> 00:15:58,000
Ni diverge ni converge.
318
00:15:58,080 --> 00:16:00,840
Estas se llaman series alternadas.
319
00:16:01,840 --> 00:16:04,920
Alternadas porque uno alterna
un término positivo
320
00:16:05,000 --> 00:16:06,720
con un término negativo,
321
00:16:07,400 --> 00:16:08,440
pero curiosamente
322
00:16:08,520 --> 00:16:12,360
–y ahora sí quiero contar
una parte extraordinaria–,
323
00:16:12,440 --> 00:16:13,720
miren lo siguiente,
324
00:16:13,800 --> 00:16:15,320
si uno hace así:
325
00:16:16,480 --> 00:16:17,760
voy hasta el uno.
326
00:16:18,200 --> 00:16:21,120
Supongamos que este es el cero
y este es el uno.
327
00:16:21,200 --> 00:16:22,720
Voy hasta el uno.
328
00:16:22,800 --> 00:16:25,480
Primero, empiezo con el uno,
329
00:16:25,560 --> 00:16:29,480
después, digo: "Uno menos un medio",
¿dónde estoy ahora?
330
00:16:29,560 --> 00:16:32,640
Si fui con el primer paso hasta acá,
estoy acá.
331
00:16:32,960 --> 00:16:34,120
Estoy aquí.
332
00:16:34,200 --> 00:16:35,520
Este sería uno menos un medio.
333
00:16:35,600 --> 00:16:38,560
El siguiente paso que hago
es ir hasta un tercio.
334
00:16:38,640 --> 00:16:40,880
O sea, a menos un medio
le agrego un tercio,
335
00:16:40,960 --> 00:16:42,160
voy a estar acá.
336
00:16:42,240 --> 00:16:45,760
Uno menos un medio
y ahora sumo un tercio.
337
00:16:45,840 --> 00:16:49,280
Y ahora le resto un cuarto,
entonces, voy a estar por acá.
338
00:16:49,640 --> 00:16:50,920
Menos un cuarto.
339
00:16:51,240 --> 00:16:54,440
Y después, le sumo un quinto
y después, le resto un sexto
340
00:16:54,520 --> 00:16:55,920
y le sumo un séptimo
341
00:16:56,000 --> 00:16:58,880
y así voy yendo para acá
y para allá, para acá y para allá,
342
00:16:58,960 --> 00:17:01,480
pero con la particularidad
de que voy hasta acá,
343
00:17:01,560 --> 00:17:03,520
vengo hasta la mitad,
voy para este lado,
344
00:17:03,600 --> 00:17:06,280
cada vez voy haciendo así.
¿Qué les parece?
345
00:17:06,360 --> 00:17:08,960
-¿Eso se va a acercar a un número?
-Sí.
346
00:17:09,040 --> 00:17:13,120
Se acerca a un número,
que es cero coma seis--
347
00:17:13,200 --> 00:17:14,840
Lo voy a mirar acá.
348
00:17:15,120 --> 00:17:19,240
Que es cero coma seis, nueve,
349
00:17:19,320 --> 00:17:21,280
tres, uno, cuatro, etcétera;
350
00:17:21,360 --> 00:17:23,240
es un número irracional
351
00:17:23,320 --> 00:17:27,920
y es un número que es ni más
ni menos que el logaritmo de dos.
352
00:17:31,680 --> 00:17:35,160
Increíblemente, si uno va sumando
uno menos un medio, más un tercio,
353
00:17:35,240 --> 00:17:37,200
menos un cuarto, más un quinto,
etcétera,
354
00:17:37,280 --> 00:17:39,480
se acerca al número
que es el logaritmo de dos.
355
00:17:39,560 --> 00:17:41,720
Es extraordinario que pase eso.
356
00:17:41,800 --> 00:17:44,200
Ustedes tienen que poner cara
de que es extraordinario.
357
00:17:44,280 --> 00:17:47,840
No sé si practicaron en casa
cara de que es extraordinario,
358
00:17:47,920 --> 00:17:49,040
pero lo es.
359
00:17:49,720 --> 00:17:52,760
Quiero contar una última cosa
de este tema,
360
00:17:52,840 --> 00:17:55,600
que es un tema apasionante,
muy interesante y etcétera.
361
00:17:55,680 --> 00:18:00,040
Quiero poner un par de ejemplos más
sobre series numéricas.
362
00:18:00,120 --> 00:18:04,720
Si uno suma uno
más un medio al cuadrado,
363
00:18:04,800 --> 00:18:08,680
más un tercio al cuadrado,
más un cuarto al cuadrado,
364
00:18:08,760 --> 00:18:11,640
más un quinto al cuadrado, etcétera,
365
00:18:11,720 --> 00:18:17,080
esto, increíblemente,
tiende a pi cuadrado sobre seis.
366
00:18:18,240 --> 00:18:19,320
Ah, bueno.
367
00:18:20,560 --> 00:18:23,360
Digamos que esto es una cosa
realmente sorprendente
368
00:18:23,440 --> 00:18:26,440
porque ¿qué tiene que ver esto
con el número pi?
369
00:18:26,520 --> 00:18:30,520
Sin embargo, esta suma
tiende a pi cuadrado sobre seis.
370
00:18:31,880 --> 00:18:36,080
Si uno pone uno
más uno sobre dos a la cuarta,
371
00:18:36,160 --> 00:18:38,200
más uno sobre tres a la cuarta,
372
00:18:38,280 --> 00:18:40,600
más uno sobre cuatro a la cuarta,
etcétera,
373
00:18:40,680 --> 00:18:44,320
esto tiende a pi a la cuarta
sobre noventa.
374
00:18:45,960 --> 00:18:49,840
Bueno, hay muchos ejemplos
de series numéricas
375
00:18:49,920 --> 00:18:51,960
que son sorprendentes.
376
00:18:52,040 --> 00:18:53,080
Digamos que uno dice:
377
00:18:53,160 --> 00:18:55,680
"¿Cómo puede ser
que converjan a algo?".
378
00:18:55,760 --> 00:18:59,240
Bueno, justamente, hay ejemplos
de series numéricas
379
00:18:59,320 --> 00:19:02,480
y después aparecen las que se llaman
series de potencias,
380
00:19:02,560 --> 00:19:04,240
pero ese es otro capítulo.
381
00:19:04,320 --> 00:19:06,480
Nosotros ahora
vamos a hacer un recreo aquí
382
00:19:06,560 --> 00:19:08,080
con series numéricas
383
00:19:08,160 --> 00:19:10,600
y nos vamos hasta dentro
de un instante nada más,
384
00:19:10,680 --> 00:19:13,080
aquí, en "Alterados por pi".
Ya volvemos.
385
00:19:13,160 --> 00:19:16,360
[Aplausos]
386
00:19:16,440 --> 00:19:22,440
[Música alegre]
387
00:19:22,560 --> 00:19:24,480
[Música rítmica]
388
00:19:24,560 --> 00:19:29,040
(Adrián Paenza)
La mayoría de las mesas que vemos
cotidianamente tienen cuatro patas.
389
00:19:29,120 --> 00:19:31,440
Uno tiende a pensar
que, con cuatro patas,
390
00:19:31,520 --> 00:19:34,720
una mesa va a ser más estable
que con tres.
391
00:19:35,400 --> 00:19:39,080
Pero también a todos nos ha pasado
alguna vez que estábamos comiendo
392
00:19:39,160 --> 00:19:42,960
o estudiando o escribiendo
en una mesa de cuatro patas
393
00:19:43,040 --> 00:19:44,640
y la mesa se movía.
394
00:19:45,000 --> 00:19:48,920
Sin embargo, eso no puede pasar
con mesas de tres patas
395
00:19:49,000 --> 00:19:50,280
y fíjense por qué.
396
00:19:50,360 --> 00:19:54,760
La matemática tiene la llave
para develar este aparente misterio.
397
00:19:58,720 --> 00:20:01,720
Se sabe que por dos puntos
pasa una única recta.
398
00:20:01,800 --> 00:20:06,080
Piénselo, por dos puntos,
una única recta, no hay otra opción.
399
00:20:06,160 --> 00:20:08,920
Del mismo modo,
se puede ver que por tres puntos
400
00:20:09,000 --> 00:20:11,240
pasa un único plano.
401
00:20:11,320 --> 00:20:13,320
Tampoco hay otra opción.
402
00:20:13,400 --> 00:20:16,200
Entonces, si uno tiene
una mesa de cuatro patas,
403
00:20:16,280 --> 00:20:19,560
sabe que por tres de esas patas
pasa un único plano,
404
00:20:19,640 --> 00:20:21,400
en este caso, el del piso.
405
00:20:26,000 --> 00:20:27,520
Pero la cuarta pata
406
00:20:27,600 --> 00:20:30,520
no necesariamente va a estar
en el mismo plano.
407
00:20:30,600 --> 00:20:32,480
Es decir que la cuarta pata
408
00:20:32,560 --> 00:20:35,680
no necesariamente va a quedar
apoyada en el piso.
409
00:20:35,760 --> 00:20:37,840
Puede que sí o que no.
410
00:20:38,640 --> 00:20:42,960
Es por eso que las mesas
de cuatro patas a veces se mueven.
411
00:20:43,360 --> 00:20:47,240
Ahora, si nuestra mesa
en vez de cuatro patas tuviera tres,
412
00:20:47,320 --> 00:20:50,280
como por tres puntos
pasa un único plano,
413
00:20:50,360 --> 00:20:53,480
las tres patas van a quedar
apoyadas en el plano del piso
414
00:20:53,560 --> 00:20:56,120
y la mesa siempre va a ser estable.
415
00:20:57,160 --> 00:21:03,160
[Música rítmica]
416
00:21:06,840 --> 00:21:11,760
[Música alegre]
417
00:21:11,840 --> 00:21:13,640
[Aplausos]
418
00:21:13,720 --> 00:21:19,000
Bueno, para terminar el programa
quiero contarles una historia
419
00:21:19,080 --> 00:21:21,080
y después plantear un problema.
420
00:21:21,160 --> 00:21:24,320
Hace muchos años, a un señor
que se llamaba Sam Loyd,
421
00:21:24,400 --> 00:21:27,280
que en realidad
es un señor muy famoso
422
00:21:27,360 --> 00:21:29,680
a pesar de que nosotros
no sepamos nada de él,
423
00:21:29,760 --> 00:21:31,480
se le ocurrió plantear
el siguiente problema
424
00:21:31,560 --> 00:21:32,760
que les voy a contar cuál es.
425
00:21:32,840 --> 00:21:36,360
Le ofreció-- Estoy hablando
de hace más de cien años.
426
00:21:36,440 --> 00:21:38,480
Se le ocurrió ofrecer
a cualquier persona
427
00:21:38,560 --> 00:21:41,080
que resolviera el problema
mil dólares.
428
00:21:41,160 --> 00:21:43,080
Mil dólares, hace más de cien años,
429
00:21:43,160 --> 00:21:45,880
sería el equivalente hoy
a un millón y posiblemente más.
430
00:21:45,960 --> 00:21:50,080
Con lo cual la gente se puso
desesperadamente
431
00:21:50,160 --> 00:21:51,840
a ver si podía resolver el problema.
432
00:21:51,920 --> 00:21:53,240
Y el problema es el siguiente:
433
00:21:53,320 --> 00:21:56,320
supónganse que uno tiene
un tablero de esta manera.
434
00:21:56,400 --> 00:21:58,960
Fíjense, se pueden hacer
movimientos de este tipo, ¿ven?
435
00:21:59,040 --> 00:22:00,400
Uno puede hacer así, etcétera,
436
00:22:00,480 --> 00:22:03,960
puede ir moviendo en forma vertical
u horizontal
437
00:22:04,040 --> 00:22:05,800
al lugar que está vacío.
438
00:22:05,880 --> 00:22:09,360
Entonces, el señor Loyd planteó
el siguiente problema:
439
00:22:09,440 --> 00:22:13,480
en lugar de poner todos los números
ordenados hasta el quince
440
00:22:13,560 --> 00:22:16,120
–este es un tablero de cuatro
por cuatro, hay un lugar vacío–,
441
00:22:16,200 --> 00:22:19,440
él intercambió el quince
y el catorce.
442
00:22:19,520 --> 00:22:20,880
Lo dejó así.
443
00:22:21,360 --> 00:22:22,680
No así, así.
444
00:22:23,040 --> 00:22:25,240
Y dijo que el que pudiera encontrar
445
00:22:25,320 --> 00:22:28,920
la forma de llevarlo
a la posición que corresponde,
446
00:22:29,000 --> 00:22:32,600
con todos ordenados, o sea,
con el catorce acá y el quince aquí,
447
00:22:32,680 --> 00:22:35,040
era el que iba a ganar el premio.
448
00:22:35,120 --> 00:22:38,240
Bueno, él estaba esperando
sentado en su casa
449
00:22:38,320 --> 00:22:40,040
muy contento y muy tranquilo
450
00:22:40,120 --> 00:22:44,400
porque él sabía que este problema
así como está planteado
451
00:22:44,480 --> 00:22:46,000
no tiene solución.
452
00:22:47,200 --> 00:22:51,360
Ahora, uno podría decir: "¿Cómo hace
para ver que no tiene solución?".
453
00:22:51,440 --> 00:22:52,760
Porque yo estoy planteando
el problema
454
00:22:52,840 --> 00:22:56,080
y, al mismo tiempo, les estoy
contando que no tiene solución.
455
00:22:56,160 --> 00:22:58,400
Uno podría decir:
"¿Cómo hace uno en matemática
456
00:22:58,480 --> 00:23:00,760
para probar
que algo no tiene solución?".
457
00:23:00,840 --> 00:23:04,120
Uno podría decir: "Bueno,
yo probé mucho y no me sale.
458
00:23:04,200 --> 00:23:05,480
Uno podría dar esa respuesta,
459
00:23:05,560 --> 00:23:07,760
pero esa es una respuesta
que no es aceptable
460
00:23:07,840 --> 00:23:10,440
porque yo podría probar mucho tiempo
sin que me salga
461
00:23:10,520 --> 00:23:12,000
y usted prueba y le sale.
462
00:23:12,080 --> 00:23:15,440
¿Quién dice que el hecho
de que a mí no me hubiera salido
463
00:23:15,520 --> 00:23:17,880
significa que el problema
no tiene solución?
464
00:23:17,960 --> 00:23:20,480
Bueno, en realidad,
fíjense lo siguiente--
465
00:23:20,560 --> 00:23:23,160
Lo voy hacer
en un caso más chiquito,
466
00:23:23,240 --> 00:23:24,120
uno, dos y tres.
467
00:23:24,200 --> 00:23:27,320
Entonces, fíjense que hay
algunas posiciones,
468
00:23:27,400 --> 00:23:30,760
por ejemplo,
todas estas posiciones--
469
00:23:30,840 --> 00:23:33,480
Yo podría empezar así
y ustedes saben que voy a poder
470
00:23:33,560 --> 00:23:36,920
efectivamente, en algún momento,
terminar.
471
00:23:37,000 --> 00:23:42,280
Uno hace años que está dando vueltas
y, al final, hace así y lo termina.
472
00:23:42,440 --> 00:23:44,480
Qué sé yo,
se puede volver para atrás.
473
00:23:44,560 --> 00:23:46,960
Sin embargo, hay posiciones
474
00:23:47,040 --> 00:23:49,760
en las cuales
uno no puede volver para atrás
475
00:23:49,840 --> 00:23:51,560
y uno no puede volver para atrás
476
00:23:51,640 --> 00:23:54,440
dependiendo
de lo que se llama la paridad.
477
00:23:54,520 --> 00:23:56,400
¿Qué quiero decir con la paridad?
478
00:23:56,480 --> 00:23:58,880
Por ejemplo,
si ustedes miran en este orden,
479
00:23:58,960 --> 00:24:01,680
¿hay alguno que esté desordenado?
480
00:24:01,760 --> 00:24:03,920
No, porque viene uno, dos,
dos, tres, tres, cuatro,
481
00:24:04,000 --> 00:24:05,600
están todos en el mismo orden.
482
00:24:05,680 --> 00:24:10,320
En cambio, si yo hiciera así,
¿cuántas veces está en desorden?
483
00:24:10,680 --> 00:24:12,880
Una, porque los demás
están todos bien
484
00:24:12,960 --> 00:24:15,480
salvo el quince, catorce.
¿Estamos de acuerdo?
485
00:24:15,560 --> 00:24:19,160
Si yo hiciera así
y pusiera de esta forma,
486
00:24:19,240 --> 00:24:22,160
entonces, el trece con el doce
está desordenado,
487
00:24:22,240 --> 00:24:23,800
el doce con el quince está bien
488
00:24:23,880 --> 00:24:25,600
y el quince con el catorce
está desordenado,
489
00:24:25,680 --> 00:24:26,760
¿estamos de acuerdo?
490
00:24:26,840 --> 00:24:30,640
O sea, esto tiene
dos veces dos saltos,
491
00:24:30,720 --> 00:24:33,960
dos errores, entre comillas,
¿estamos de acuerdo?
492
00:24:34,040 --> 00:24:36,440
Bueno, entonces,
la solución a este problema
493
00:24:36,520 --> 00:24:40,160
es que, si a uno le presentan
un tablero de estas características
494
00:24:40,240 --> 00:24:45,000
y uno empieza a mirar cuántas veces
hay uno menor antes que uno mayor,
495
00:24:45,080 --> 00:24:48,720
si la cantidad de veces--
Al principio, cuando está todo bien,
496
00:24:48,800 --> 00:24:51,880
¿cuántos hay mayores
antes que uno menor?
497
00:24:51,960 --> 00:24:54,760
Cero al empezar al principio.
¿Está bien?
498
00:24:54,840 --> 00:24:56,680
Es decir, ¿es un número par el cero
o no?
499
00:24:56,760 --> 00:24:57,800
-Sí.
-¿Sí?
500
00:24:57,880 --> 00:25:00,400
Bueno, entonces,
si, cuando yo pongo un tablero,
501
00:25:00,480 --> 00:25:04,800
la cantidad de mayores
antes que el menor es un número par,
502
00:25:04,880 --> 00:25:06,800
entonces,
se puede llegar al principio.
503
00:25:06,880 --> 00:25:09,840
Si es un número impar,
no se puede llegar.
504
00:25:09,920 --> 00:25:12,280
O sea, no estoy demostrando
que esa sea la solución.
505
00:25:12,360 --> 00:25:15,520
Estoy diciendo que la forma
de demostrar
506
00:25:15,600 --> 00:25:19,200
si se puede o no se puede pasar
del juego del quince,
507
00:25:19,280 --> 00:25:22,880
del original, del que planteó
Sam Loyd así,
508
00:25:22,960 --> 00:25:24,000
es que no se va a poder
509
00:25:24,080 --> 00:25:29,440
porque este tiene un cambio,
uno mayor y, después, uno menor.
510
00:25:29,600 --> 00:25:31,480
Entonces, hay una modificación.
511
00:25:31,560 --> 00:25:34,840
Cuando eso sucede, esto sería
como si fuera impar.
512
00:25:34,920 --> 00:25:38,320
En cambio, la original es par
porque no tiene cambios,
513
00:25:38,400 --> 00:25:40,040
o sea, tiene cero cambios.
514
00:25:40,120 --> 00:25:43,040
Entonces, fíjense lo siguiente:
todos los que son impares--
515
00:25:43,120 --> 00:25:44,680
Acá hay muchas posibilidades,
516
00:25:44,760 --> 00:25:46,160
yo podría hacer así,
517
00:25:46,240 --> 00:25:48,000
cambiar lo que quiera
y empezar a contar.
518
00:25:48,080 --> 00:25:53,440
Si, cuando cuento, la cantidad
de desórdenes es par,
519
00:25:53,520 --> 00:25:58,600
voy a poder resolver el problema;
si es impar, no voy a poder.
520
00:25:58,680 --> 00:26:00,720
Bueno, eso resuelve
el problema del quince
521
00:26:00,800 --> 00:26:03,240
y los invito a ustedes
a que en sus casas
522
00:26:03,320 --> 00:26:04,760
prueben con el uno, dos, tres,
523
00:26:04,840 --> 00:26:07,440
a ver si se puede pasar
de este que está acá,
524
00:26:07,520 --> 00:26:08,880
uno, tres, dos o no.
525
00:26:08,960 --> 00:26:12,920
Entre paréntesis, uno, tres,
está bien ¿y tres, dos está bien?
526
00:26:13,000 --> 00:26:14,040
-No.
-No.
527
00:26:14,120 --> 00:26:15,560
Entonces, originalmente--
528
00:26:15,640 --> 00:26:19,520
¿Y el uno, dos, tres
qué paridad tiene?
529
00:26:19,800 --> 00:26:23,000
Cero. O sea que este que está acá,
hagan lo que hagan
530
00:26:23,080 --> 00:26:25,600
–y practíquenlo ustedes–
no van a poder llegar.
531
00:26:25,680 --> 00:26:28,080
De este al original no se puede.
532
00:26:28,160 --> 00:26:30,600
Gracias y nos reencontramos
en cualquier momento
533
00:26:30,680 --> 00:26:33,680
en "Alterados por pi"
siempre aquí por el canal Encuentro.
534
00:26:33,760 --> 00:26:34,800
Chau.
535
00:26:34,880 --> 00:26:39,120
[Aplausos]
536
00:26:39,200 --> 00:26:45,200
[Música de cierre]