1
00:00:00,280 --> 00:00:06,280
[Música suave]
2
00:00:08,200 --> 00:00:10,240
(Adrián Paenza)
Aunque parezca una ciencia fría,
3
00:00:10,320 --> 00:00:13,960
la matemática es, a veces,
atravesada por el destino
4
00:00:14,040 --> 00:00:15,840
y es evidente que el cálculo
5
00:00:15,920 --> 00:00:19,320
estaba destinado a aparecer
en el siglo XVII.
6
00:00:21,800 --> 00:00:25,280
La pelea entre Isaac Newton
y Gottfried Leibniz
7
00:00:25,360 --> 00:00:28,320
por la paternidad
del descubrimiento del cálculo
8
00:00:28,400 --> 00:00:30,840
significó una de las polémicas
más lamentables
9
00:00:30,920 --> 00:00:32,880
de la historia de las ciencias,
10
00:00:32,960 --> 00:00:35,760
pero hoy se sabe que,
por caminos distintos,
11
00:00:35,840 --> 00:00:38,800
Newton y Leibniz llegaron
a la misma conclusión
12
00:00:38,880 --> 00:00:42,600
sobre una de las herramientas
matemáticas más potentes:
13
00:00:42,680 --> 00:00:46,080
el cálculo,
que se aplica en computación
14
00:00:46,160 --> 00:00:51,200
y los vuelos espaciales, astronomía,
en biología, en química,
15
00:00:51,280 --> 00:00:55,080
en definitiva, el cálculo está hoy
en todas partes.
16
00:00:57,440 --> 00:01:01,080
La noción de límite cruzó la vida
de dos científicos brillantes
17
00:01:01,160 --> 00:01:03,040
que venían por caminos diferentes
18
00:01:03,120 --> 00:01:06,040
y que siguieron
por caminos diferentes.
19
00:01:06,120 --> 00:01:08,880
A Leibniz le quedó el orgullo
de acuñar el nombre
20
00:01:08,960 --> 00:01:11,160
con el que hoy se conoce
la disciplina,
21
00:01:11,240 --> 00:01:15,760
ya que Newton había llamado
a su cálculo "método de fluxión".
22
00:01:17,440 --> 00:01:20,280
El final de ambos
resultó también muy distinto.
23
00:01:20,360 --> 00:01:24,680
Newton recibió en su funeral
los honores de un monarca.
24
00:01:24,760 --> 00:01:29,000
En cambio, al entierro de Leibniz
solo asistió su criado.
25
00:01:29,560 --> 00:01:32,760
Dos vidas muy distintas
unidas por un destino común.
26
00:01:33,360 --> 00:01:39,040
[Música suave]
27
00:01:39,120 --> 00:01:45,120
[Música de presentación]
28
00:02:12,160 --> 00:02:14,440
[Aplausos]
29
00:02:14,520 --> 00:02:17,960
Gracias, gracias por venir
aquí a "Alterados por pi",
30
00:02:18,040 --> 00:02:19,400
siempre en el canal Encuentro
31
00:02:19,480 --> 00:02:21,200
tratando de hablar un poco
de matemática
32
00:02:21,280 --> 00:02:24,160
y contando algunas de las cosas
que nos maravillan a todos
33
00:02:24,240 --> 00:02:25,480
y que yo quiero comunicarlas
34
00:02:25,560 --> 00:02:28,640
para que no solamente nos maravillen
a los que estamos del lado de acá,
35
00:02:28,720 --> 00:02:31,480
sino que los maravillen
a los que están del otro lado.
36
00:02:31,560 --> 00:02:32,680
Y de lo que quiero hablar hoy
37
00:02:32,760 --> 00:02:34,800
es de lo que se llama
la noción de límite.
38
00:02:34,880 --> 00:02:37,160
O sea, el límite, esta noción
39
00:02:37,240 --> 00:02:42,040
es algo que surgió
en el siglo XVII, XVIII
40
00:02:42,120 --> 00:02:44,880
con Isaac Newton y con Leibniz.
41
00:02:45,520 --> 00:02:50,560
Uno era un físico matemático inglés,
el otro era un matemático alemán
42
00:02:50,640 --> 00:02:53,640
y se han disputado históricamente,
incluso con discusiones,
43
00:02:53,720 --> 00:02:57,360
nunca se conocieron entre ellos,
pero hubo mucha controversia,
44
00:02:57,440 --> 00:02:58,520
mucho drama,
45
00:02:58,600 --> 00:02:59,800
quién fue el que llegó primero
46
00:02:59,880 --> 00:03:02,560
a descubrir lo que se llama
la noción de límite.
47
00:03:02,640 --> 00:03:05,280
Bueno, independientemente
el crédito lo tienen los dos
48
00:03:05,360 --> 00:03:08,800
y hoy uno puede decir que la ciencia
dio un vuelco fundamental
49
00:03:08,880 --> 00:03:11,040
con la aparición
de la noción de límite
50
00:03:11,120 --> 00:03:14,080
a tal punto que las cosas
que estaban estáticas--
51
00:03:14,160 --> 00:03:17,640
O sea, uno podía describir
solamente cosas quietas.
52
00:03:17,720 --> 00:03:20,240
Con la noción de límite,
uno, a partir de ese momento,
53
00:03:20,320 --> 00:03:22,640
puede empezar a hablar
de cosas en movimiento;
54
00:03:22,720 --> 00:03:25,600
el movimiento de los planetas,
el fluir de los líquidos,
55
00:03:25,680 --> 00:03:26,800
o sea, hay un montón de cosas
56
00:03:26,880 --> 00:03:29,640
que de pronto tuvieron
un sentido distinto
57
00:03:29,720 --> 00:03:32,840
gracias a que aparece
la noción de límite
58
00:03:32,920 --> 00:03:34,400
y con ello el cálculo
59
00:03:34,480 --> 00:03:37,600
y cambia la historia
de la matemática en ese sentido.
60
00:03:38,080 --> 00:03:39,800
Ahora, la pregunta es:
61
00:03:39,880 --> 00:03:42,520
¿qué quiere decir
estar cerca de algo?
62
00:03:42,600 --> 00:03:47,040
O sea, si yo tengo un punto acá,
63
00:03:47,600 --> 00:03:51,760
¿qué quiere decir que yo tengo
puntos que se van acercando?
64
00:03:51,880 --> 00:03:55,240
O sea, de alguna manera
tratar de precisar
65
00:03:55,320 --> 00:03:57,760
lo que quiere decir
que uno se está acercando.
66
00:03:57,840 --> 00:04:01,280
Por ejemplo, supongamos
que yo a este punto lo llamo A
67
00:04:01,360 --> 00:04:02,920
y yo vengo haciendo así.
68
00:04:03,000 --> 00:04:05,480
-¿Me estoy acercando a A?
-Sí.
69
00:04:06,080 --> 00:04:09,080
¿Me acerco tanto como quiero a A
si hago así?
70
00:04:10,240 --> 00:04:11,280
No.
71
00:04:11,360 --> 00:04:13,040
Una cosa es acercarse y--
72
00:04:13,120 --> 00:04:15,520
¿Me estoy acercando
tanto como quiero?
73
00:04:15,600 --> 00:04:17,760
Si hago así, lo que estoy haciendo
74
00:04:17,840 --> 00:04:19,960
es acercándome a este
tanto como quiero.
75
00:04:20,040 --> 00:04:22,600
Pero a este,
si bien me estoy acercando,
76
00:04:22,680 --> 00:04:24,960
no me estoy acercando
tanto como quiero.
77
00:04:25,040 --> 00:04:26,320
¿Se entiende que hay una diferencia
78
00:04:26,400 --> 00:04:28,080
-entre este y este punto?
-Sí.
79
00:04:28,160 --> 00:04:30,960
A este punto parecía
como que me estoy acercando
80
00:04:31,040 --> 00:04:35,160
y, si yo estuviera mirando
con una lupa, lo ampliara,
81
00:04:35,240 --> 00:04:37,800
este punto está acá,
yo voy haciendo así,
82
00:04:37,880 --> 00:04:39,640
cada vez me estoy acercando más.
83
00:04:39,720 --> 00:04:43,000
A este también me estoy acercando,
pero no tanto como quiero.
84
00:04:43,080 --> 00:04:44,400
O sea, si una persona me dijera:
85
00:04:44,480 --> 00:04:46,880
"A ver, acercate
y metete acá adentro
86
00:04:46,960 --> 00:04:48,520
al hacer estos pasitos",
87
00:04:48,600 --> 00:04:50,400
no me voy a poder meter
ahí adentro.
88
00:04:50,480 --> 00:04:52,160
O sea, los pasitos que estoy dando
89
00:04:52,240 --> 00:04:55,760
aparentemente me van acercando
tanto como quiero a este,
90
00:04:55,840 --> 00:04:56,920
pero no a este.
91
00:04:57,000 --> 00:04:58,960
O sea, en algún sentido, entonces,
92
00:04:59,040 --> 00:05:02,880
empieza la noción de acercarse
tanto como uno quiera.
93
00:05:02,960 --> 00:05:06,680
Por ejemplo, vamos a mirar
este ejemplo respecto de una pizza.
94
00:05:06,760 --> 00:05:10,640
Vamos a suponer que una persona
se ordena una pizza.
95
00:05:10,720 --> 00:05:11,960
Llega la pizza.
96
00:05:12,640 --> 00:05:16,080
Se la va a comer él toda
cuando, de pronto, suena el timbre
97
00:05:16,160 --> 00:05:18,280
y viene otra persona.
98
00:05:18,360 --> 00:05:21,320
Entonces, en ese momento,
deciden compartir la pizza.
99
00:05:21,400 --> 00:05:23,160
Van a comer la mitad cada uno.
100
00:05:23,240 --> 00:05:24,960
Toca el timbre un amigo más.
101
00:05:25,040 --> 00:05:26,520
Ya se empieza a complicar
102
00:05:26,600 --> 00:05:29,520
porque ahora hay que dividir
la pizza en tres, cosa que hacen,
103
00:05:29,600 --> 00:05:33,680
y a cada uno –yo me apuro–
le toca un tercio de pizza.
104
00:05:33,760 --> 00:05:35,560
Increíblemente,
cuando se están preparando,
105
00:05:35,640 --> 00:05:37,280
van a buscar los cubiertos,
106
00:05:38,520 --> 00:05:39,720
no es justo esto
107
00:05:39,800 --> 00:05:42,320
porque ahora son cuatro personas
108
00:05:42,400 --> 00:05:45,080
y queda un cuarto de pizza
para cada uno.
109
00:05:45,160 --> 00:05:47,120
Entonces, vienen cinco personas
110
00:05:47,200 --> 00:05:49,760
y ahora hay un quinto de pizza
para cada uno.
111
00:05:49,840 --> 00:05:50,920
¿Qué es lo que está pasando?
112
00:05:51,000 --> 00:05:53,280
A medida que empiezan
a venir personas--
113
00:05:53,360 --> 00:05:56,000
Seis personas, ahora hay un sexto,
114
00:05:56,080 --> 00:05:57,440
viene una séptima persona,
115
00:05:57,520 --> 00:05:59,640
hay un séptimo de pizza
para cada uno,
116
00:05:59,720 --> 00:06:03,240
un octavo de pizza para cada uno,
un dieciseisavo.
117
00:06:03,320 --> 00:06:06,120
O sea, vinieron dieciséis personas
porque vino un batallón.
118
00:06:06,200 --> 00:06:07,760
Vienen veinticuatro.
119
00:06:07,840 --> 00:06:10,080
Es decir que ¿qué es
lo que está pasando?
120
00:06:10,160 --> 00:06:13,360
A medida
que el número de personas aumenta,
121
00:06:13,440 --> 00:06:16,800
el tamaño de la pizza
cada vez se va haciendo más chico.
122
00:06:17,240 --> 00:06:19,840
En algún sentido,
¿esto qué está diciendo?
123
00:06:19,920 --> 00:06:25,000
Que si el tamaño de la porción
que cada uno va a comer
124
00:06:25,080 --> 00:06:26,400
se está haciendo más chico,
125
00:06:26,480 --> 00:06:29,000
entonces, uno podría decir uno--
126
00:06:29,080 --> 00:06:32,880
Pongo "n" para indicar
el número de personas que vienen.
127
00:06:33,160 --> 00:06:37,680
Cuando "n" es más grande,
¿qué pasa con uno sobre "n"?
128
00:06:39,120 --> 00:06:41,800
A medida que va aumentando
el número de personas,
129
00:06:41,880 --> 00:06:43,960
¿uno sobre "n" cómo se hace?
130
00:06:44,040 --> 00:06:45,360
Cada vez más chico.
131
00:06:45,800 --> 00:06:48,360
¿Y adónde se está acercando
uno sobre "n"?
132
00:06:48,440 --> 00:06:50,240
-A cero.
-Se está acercando a cero.
133
00:06:50,320 --> 00:06:54,760
O sea, el límite, entonces,
134
00:06:54,840 --> 00:06:57,920
el límite de esto, uno sobre "n",
135
00:06:58,000 --> 00:07:01,040
a medida que el "n" va creciendo
y creciendo y creciendo,
136
00:07:01,120 --> 00:07:03,920
esto se acerca a cero,
¿estamos de acuerdo?
137
00:07:04,000 --> 00:07:05,440
Y uno dice: "A ver,
138
00:07:05,520 --> 00:07:07,600
¿cuántas personas harían falta
139
00:07:07,680 --> 00:07:10,800
para que la porción sea
más chiquita que un milímetro?".
140
00:07:10,880 --> 00:07:13,200
Va a haber un número de personas
a partir del cual
141
00:07:13,280 --> 00:07:16,600
la porcioncita de pizza va a ser
tan finita como un milímetro.
142
00:07:16,680 --> 00:07:19,720
Y uno dice: "¿Y más chiquita
que una décima de milímetro?".
143
00:07:19,800 --> 00:07:22,240
También tiene que haber
un número de personas.
144
00:07:22,320 --> 00:07:26,040
Me den ustedes el desafío que me den
en la porción de pizza,
145
00:07:26,120 --> 00:07:27,680
en el tamaño de la porción de pizza,
146
00:07:27,760 --> 00:07:30,440
yo siempre voy a poder traer
una cantidad de personas
147
00:07:30,520 --> 00:07:33,320
de manera tal que-- Ahí lo ven.
148
00:07:33,400 --> 00:07:37,800
Para una persona, la pizza entera;
para dos personas, un medio;
149
00:07:37,880 --> 00:07:41,440
para tres personas, un tercio;
para cuatro personas, un cuarto.
150
00:07:41,520 --> 00:07:44,880
En definitiva, miren
lo que está pasando cómo se ve ahí:
151
00:07:44,960 --> 00:07:46,240
¿Ven la curvita?
152
00:07:46,320 --> 00:07:48,840
¿A esa curva qué es
lo que le terminaría pasando
153
00:07:48,920 --> 00:07:51,720
si uno la pudiera seguir
indefinidamente?
154
00:07:51,800 --> 00:07:55,080
Se acercaría y se pegaría
con la recta horizontal.
155
00:07:55,680 --> 00:07:57,480
Y se acercaría.
156
00:07:57,560 --> 00:08:00,880
¿Esta curvita y esta recta
qué les pasaría?
157
00:08:00,960 --> 00:08:04,000
Se va a ir acercando
tanto como quiera al eje horizontal.
158
00:08:04,080 --> 00:08:05,720
-¿Lo va a tocar?
-No.
159
00:08:05,800 --> 00:08:07,040
No lo va a tocar nunca,
160
00:08:07,120 --> 00:08:09,040
pero se va a acercar
tanto como quiera.
161
00:08:09,120 --> 00:08:10,320
Ahora al revés.
162
00:08:10,400 --> 00:08:14,200
Si en lugar de acercarme para allá,
cada vez vinieran más personas,
163
00:08:14,280 --> 00:08:16,560
miren lo que pasaría
si hubiera media persona.
164
00:08:16,640 --> 00:08:18,920
Le tocarían dos pizzas.
165
00:08:19,000 --> 00:08:20,000
-¿Se entiende?
-Sí.
166
00:08:20,080 --> 00:08:23,760
Y, si yo siguiera así,
habría dos personas--
167
00:08:23,840 --> 00:08:26,680
Si hubiera media persona acá,
le tocarían dos pizzas
168
00:08:26,760 --> 00:08:30,360
y, si hubiera un tercio de persona,
le tocarían tres pizzas,
169
00:08:30,440 --> 00:08:32,840
o sea que,
si me fuera acercando a cero,
170
00:08:32,920 --> 00:08:34,560
¿qué es lo que tendería a pasar?
171
00:08:34,640 --> 00:08:36,880
¿Cuántas pizzas les tocarían
a esas personas?
172
00:08:36,960 --> 00:08:38,000
A esa "no persona"
173
00:08:38,080 --> 00:08:40,520
porque, al acercarme a cero,
¿qué le pasaría?
174
00:08:40,600 --> 00:08:42,800
Cada vez, le tocaría más pizza
175
00:08:42,880 --> 00:08:45,440
hasta que comería infinitas pizzas.
176
00:08:45,520 --> 00:08:49,040
Eso, en algún sentido,
es la noción de límite.
177
00:08:49,120 --> 00:08:52,000
Y vamos a poner un ejemplo
con los números racionales.
178
00:08:52,080 --> 00:08:57,760
Si yo tomo este número, cero,
después pongo el cero coma tres,
179
00:08:57,840 --> 00:09:00,880
después pongo el cero
coma treinta y tres,
180
00:09:00,960 --> 00:09:03,480
después, el cero coma
treinta y tres, tres
181
00:09:03,560 --> 00:09:06,680
y ahora hago cero coma
tres, tres, tres, tres.
182
00:09:06,760 --> 00:09:08,760
Si siguiera así, ¿qué va a pasar?
183
00:09:08,840 --> 00:09:12,600
Si yo siguiera indefinidamente,
¿adónde va a tender esto?
184
00:09:12,800 --> 00:09:15,640
A un tercio
porque ¿un tercio cuánto es?
185
00:09:15,720 --> 00:09:18,840
¿No es cero punto treinta y tres,
treinta y tres, treinta y tres,
186
00:09:18,920 --> 00:09:20,120
en forma indefinida?
187
00:09:20,200 --> 00:09:23,320
O sea, estos puntitos,
si yo los dibujara acá,
188
00:09:23,400 --> 00:09:24,760
si acá está el cero
189
00:09:24,840 --> 00:09:27,560
y supongamos
que yo estuviera mirando--
190
00:09:27,640 --> 00:09:30,000
Si acá está el cero coma tres,
191
00:09:30,080 --> 00:09:32,560
después estaría
el cero coma treinta y tres
192
00:09:32,640 --> 00:09:35,760
y ahora vamos a mirar, entonces,
algo muy parecido,
193
00:09:35,840 --> 00:09:39,320
pero, en lugar de pensarlo
que se está acercando a un tercio,
194
00:09:39,400 --> 00:09:42,200
vamos a ver qué es lo que pasa
con el número pi.
195
00:09:42,280 --> 00:09:44,480
Uno podría acercarse de esta manera.
196
00:09:45,880 --> 00:09:50,560
Miren, el número pi, en principio,
es un número irracional,
197
00:09:50,640 --> 00:09:51,920
trascendente,
198
00:09:52,000 --> 00:09:57,280
tiene un infinito desarrollo decimal
con cifras que nunca se repiten,
199
00:09:57,360 --> 00:09:59,320
es decir, no hay ningún patrón,
200
00:09:59,400 --> 00:10:01,760
justamente por eso
es un número irracional.
201
00:10:01,840 --> 00:10:04,440
Ahora uno dice,
fíjense lo siguiente:
202
00:10:04,520 --> 00:10:07,280
el número pi está
entre tres y cuatro,
203
00:10:07,360 --> 00:10:10,840
yo podría elegir primero
para acercarme el número tres,
204
00:10:10,920 --> 00:10:13,400
después tres
205
00:10:13,480 --> 00:10:17,280
y después tres coma, supongamos,
tres coma uno.
206
00:10:17,720 --> 00:10:18,800
¿Ven?
207
00:10:18,880 --> 00:10:22,080
Pero el número pi está
a la derecha todavía de eso,
208
00:10:22,160 --> 00:10:25,880
está entre tres coma diez
y tres coma veinte.
209
00:10:25,960 --> 00:10:28,360
Y me acerco,
está en tres coma catorce
210
00:10:28,440 --> 00:10:33,760
o sea, y después vendría otro más,
vendría tres coma catorce uno
211
00:10:33,840 --> 00:10:36,600
y después vendría
tres coma catorce quince
212
00:10:36,680 --> 00:10:40,120
y después es tres coma catorce
quince nueve.
213
00:10:40,200 --> 00:10:41,360
Y así siguiendo.
214
00:10:41,440 --> 00:10:45,040
Cada uno de estos puntitos
se está acercando
215
00:10:45,120 --> 00:10:48,560
cuando voy agregando los decimales.
¿A qué número se acercan?
216
00:10:48,640 --> 00:10:51,200
Se están acercando al número pi.
217
00:10:51,280 --> 00:10:53,880
Bueno, en algún sentido, entonces,
218
00:10:53,960 --> 00:10:57,080
ahora tenemos la noción
de lo que quiere decir el límite,
219
00:10:57,160 --> 00:10:59,880
me estoy acercando tanto como quiero
220
00:10:59,960 --> 00:11:02,920
y "tanto como quiero",
para resumir en esta primera parte,
221
00:11:03,000 --> 00:11:06,000
significa que yo puedo superar
cualquier desafío.
222
00:11:06,080 --> 00:11:08,040
Hagamos una pausa, hacemos un
recreo
223
00:11:08,120 --> 00:11:11,480
e inmediatamente después volvemos
con "Alterados por pi".
224
00:11:12,000 --> 00:11:17,560
[Aplausos]
225
00:11:17,640 --> 00:11:23,640
[Música alegre]
226
00:11:27,120 --> 00:11:29,080
(Adrián Paenza)
Hay un libro de Guillermo Martínez,
227
00:11:29,160 --> 00:11:33,240
uno de los escritores argentinos
más importantes del siglo XXI,
228
00:11:33,320 --> 00:11:35,720
que se llama
"Crímenes imperceptibles".
229
00:11:38,200 --> 00:11:39,920
El libro tuvo muchísimo éxito
230
00:11:40,000 --> 00:11:43,320
y fue traducido
a muchísimos idiomas,
231
00:11:43,400 --> 00:11:44,880
pero, en particular,
232
00:11:44,960 --> 00:11:48,120
Guillermo Martínez, que además
de escritor es matemático,
233
00:11:48,200 --> 00:11:50,160
presentó esta serie:
234
00:11:52,640 --> 00:11:53,840
fíjense.
235
00:11:54,240 --> 00:11:57,160
Este símbolo seguido de este,
236
00:11:58,240 --> 00:12:01,360
de este, de este otro.
237
00:12:03,000 --> 00:12:06,680
Y, en un momento determinado,
se preguntaba:
238
00:12:06,760 --> 00:12:08,960
"¿Hay naturalmente una manera
de seguir
239
00:12:09,040 --> 00:12:11,440
con esta sucesión de símbolos?
240
00:12:11,520 --> 00:12:13,720
¿Hay una forma de continuar?".
241
00:12:13,800 --> 00:12:15,800
Por supuesto que hay infinitas,
242
00:12:15,880 --> 00:12:20,240
pero ¿habrá alguna que a usted
se le ocurra como más natural?
243
00:12:21,120 --> 00:12:25,000
[Música alegre]
244
00:12:25,080 --> 00:12:28,720
[Aplausos]
245
00:12:28,800 --> 00:12:32,720
Bueno, vamos a seguir ahora,
entonces, aquí en "Alterados por pi"
246
00:12:32,800 --> 00:12:36,240
con lo que es una aproximación
a lo que es la noción de límite.
247
00:12:36,320 --> 00:12:38,200
Por supuesto que este
es un tema muy vasto,
248
00:12:38,280 --> 00:12:39,800
muy amplio, muy profundo
249
00:12:39,880 --> 00:12:41,320
y lo que pretendo, en todo caso,
250
00:12:41,400 --> 00:12:43,800
es dar una ligera idea
de qué se trata.
251
00:12:43,880 --> 00:12:47,000
Supongamos que una persona
va manejando un coche o un auto
252
00:12:47,080 --> 00:12:50,680
de Buenos Aires a Mar del Plata,
donde hay cuatrocientos kilómetros,
253
00:12:50,760 --> 00:12:52,960
y esta persona tarda cuatro horas.
254
00:12:53,040 --> 00:12:54,360
Entonces, ¿uno qué diría?
255
00:12:54,440 --> 00:12:57,360
¿Cuál fue la velocidad promedio
a la que fue el auto?
256
00:12:57,440 --> 00:12:58,920
La velocidad promedio,
257
00:12:59,000 --> 00:13:02,320
si tardó cuatro horas para hacer
cuatrocientos kilómetros--
258
00:13:02,400 --> 00:13:07,200
Si hay cuatrocientos kilómetros
y tardó cuatro horas,
259
00:13:07,920 --> 00:13:11,760
entonces, ¿qué quiere decir?
¿Cuál fue su velocidad promedio?
260
00:13:13,640 --> 00:13:14,960
Cien kilómetros por hora.
261
00:13:15,040 --> 00:13:18,040
La velocidad promedio
es cien kilómetros por hora.
262
00:13:18,120 --> 00:13:21,000
¿Por qué es cien kilómetros
por hora? ¿Cómo hacen ustedes--?
263
00:13:21,080 --> 00:13:22,120
Ahora lo vamos a ver,
264
00:13:22,200 --> 00:13:24,360
pero ¿cómo hacen ustedes
para deducir eso?
265
00:13:24,440 --> 00:13:29,280
Uno dice: acá estaba en cero,
266
00:13:29,360 --> 00:13:31,840
acá está
en cuatrocientos kilómetros,
267
00:13:33,840 --> 00:13:37,360
entonces, ¿cómo hace uno
para sacar la velocidad promedio?
268
00:13:37,440 --> 00:13:42,960
Recorrió cuatrocientos kilómetros
en cuatro horas.
269
00:13:43,320 --> 00:13:47,040
El resultado
es cien kilómetros por hora.
270
00:13:48,400 --> 00:13:49,880
¿Estamos de acuerdo?
271
00:13:49,960 --> 00:13:51,840
Cuatrocientos dividido cuatro.
272
00:13:51,920 --> 00:13:55,840
Ahora, ¿significa eso que la persona
fue a cien kilómetros por hora
273
00:13:55,920 --> 00:13:57,000
todo el tiempo?
274
00:13:57,080 --> 00:13:58,120
-No.
-No.
275
00:13:58,200 --> 00:14:01,480
O sea, si hubiera ido a cien
kilómetros por hora todo el tiempo,
276
00:14:01,560 --> 00:14:04,520
quiere decir que hubiera ido
de esta forma,
277
00:14:04,600 --> 00:14:07,880
o sea, a la hora tendría
que haber hecho cien kilómetros,
278
00:14:07,960 --> 00:14:10,640
a las dos horas, doscientos,
a las tres horas, trescientos,
279
00:14:10,720 --> 00:14:12,080
a las cuatro horas, cuatrocientos.
280
00:14:12,160 --> 00:14:16,960
Es como si hubiera ido
a una velocidad constante,
281
00:14:17,040 --> 00:14:18,440
se dibujaría ahí una recta.
282
00:14:18,520 --> 00:14:19,800
-¿Se ve eso?
-Sí.
283
00:14:19,880 --> 00:14:22,080
Entonces,
es como si estuviera yendo así.
284
00:14:22,160 --> 00:14:25,200
Pero pudo haber hecho cuatrocientos
kilómetros en cuatro horas
285
00:14:25,280 --> 00:14:27,960
de otra forma.
Pudo haber hecho así.
286
00:14:28,040 --> 00:14:32,520
Pudo haber recorrido así
o de esta otra forma.
287
00:14:32,600 --> 00:14:35,720
O sea, no hay una única manera
de recorrer.
288
00:14:35,800 --> 00:14:37,880
Miren estas otras alternativas.
289
00:14:37,960 --> 00:14:41,640
Acá en tres horas
hizo cien kilómetros nada más.
290
00:14:41,720 --> 00:14:43,880
En la última hora,
tuvo que ir muy rápido
291
00:14:43,960 --> 00:14:45,240
para poder compensar.
292
00:14:45,320 --> 00:14:48,480
O sea, no hay una única manera
de recorrer
293
00:14:48,560 --> 00:14:51,000
los cuatrocientos kilómetros
en cuatro horas.
294
00:14:51,080 --> 00:14:53,200
La velocidad promedio no varía,
295
00:14:53,280 --> 00:14:55,960
sigue siendo
cien kilómetros por hora,
296
00:14:56,040 --> 00:14:58,920
pero los caminos que pudo haber
recorrido el señor,
297
00:14:59,400 --> 00:15:02,880
las formas de haberlo hecho
son eventualmente infinitas,
298
00:15:02,960 --> 00:15:04,000
hay muchas maneras.
299
00:15:04,080 --> 00:15:05,640
Incluso pudo haber hecho eso,
300
00:15:05,720 --> 00:15:08,640
fue a la primera hora,
recorrió ciento ochenta kilómetros,
301
00:15:08,720 --> 00:15:11,680
después se dedicó a descansar,
se encontró con un amigo
302
00:15:11,760 --> 00:15:14,400
y después salió corriendo
desesperado para poder llegar.
303
00:15:14,480 --> 00:15:15,960
O sea, todo esto está marcado
304
00:15:16,040 --> 00:15:18,840
en los distintos gráficos
que vemos acá.
305
00:15:18,920 --> 00:15:22,040
Ahora, uno podría decir
que fue a cien kilómetros por hora,
306
00:15:22,120 --> 00:15:25,200
pero yo querría tener una idea
un poco más aproximada
307
00:15:25,280 --> 00:15:26,760
de cómo fue el camino que usó,
308
00:15:26,840 --> 00:15:30,240
es decir, cuántos metros
o kilómetros fue recorriendo
309
00:15:30,320 --> 00:15:32,120
a medida que iba pasando el tiempo.
310
00:15:32,200 --> 00:15:33,840
Eso me va a dar una mejor idea
311
00:15:33,920 --> 00:15:36,520
de cuál fue la velocidad
a la que él fue.
312
00:15:36,600 --> 00:15:38,840
En promedio,
fue cien kilómetros por hora,
313
00:15:38,920 --> 00:15:41,400
pero ¿qué hizo en el medio?
¿Está bien?
314
00:15:41,480 --> 00:15:43,760
Entonces, uno podría decir:
"Bueno, voy a partir--".
315
00:15:43,840 --> 00:15:45,000
Vamos a mirar acá.
316
00:15:45,080 --> 00:15:48,960
A las cuatro horas, sabemos
que hizo cuatrocientos kilómetros.
317
00:15:49,040 --> 00:15:50,440
Ahora, miren lo que pasa.
318
00:15:50,520 --> 00:15:53,680
Uno podría mirar qué pasó
a las dos horas.
319
00:15:53,760 --> 00:15:56,400
Si a las dos horas
hizo trescientos kilómetros--
320
00:15:56,480 --> 00:16:00,320
Siempre en total son cien
kilómetros por hora de promedio,
321
00:16:00,400 --> 00:16:02,120
pero ahora miren lo que pasa.
322
00:16:02,200 --> 00:16:05,200
En dos horas, vamos a suponer
que hizo trescientos kilómetros.
323
00:16:05,280 --> 00:16:07,120
¿Eso qué quiere decir?
324
00:16:07,200 --> 00:16:10,480
Que en la primeras dos horas
¿a cuánto fue el auto?
325
00:16:10,560 --> 00:16:12,680
A ciento cincuenta
kilómetros por hora
326
00:16:12,760 --> 00:16:14,680
en las primeras dos horas.
327
00:16:14,760 --> 00:16:16,680
A mí lo que me interesaría saber
328
00:16:16,760 --> 00:16:20,520
es cuál fue la velocidad instantánea
en cada punto.
329
00:16:20,600 --> 00:16:21,640
Es decir, saber--
330
00:16:21,720 --> 00:16:24,040
¿Quién mide eso
cuando uno va en un auto?
331
00:16:24,120 --> 00:16:27,120
¿Cómo hace uno para saber
la velocidad instantánea?
332
00:16:27,720 --> 00:16:28,880
El velocímetro.
333
00:16:28,960 --> 00:16:30,280
Uno mira el velocímetro
334
00:16:30,360 --> 00:16:32,480
y el velocímetro
le está diciendo a uno
335
00:16:32,560 --> 00:16:35,320
esta es la velocidad
en cada uno de los momentos.
336
00:16:35,400 --> 00:16:38,200
Si cambia la velocidad, es porque
uno está apretando el acelerador
337
00:16:38,280 --> 00:16:39,720
o está apretando el freno.
338
00:16:39,800 --> 00:16:41,240
Si mantiene constante,
339
00:16:41,320 --> 00:16:43,400
es porque la velocidad
se mantiene constante.
340
00:16:43,480 --> 00:16:44,600
¿Estamos de acuerdo?
341
00:16:44,680 --> 00:16:47,240
¿Y cómo hace uno para saber?
342
00:16:47,320 --> 00:16:49,720
Vamos a suponer
que yo hiciera esto.
343
00:16:51,320 --> 00:16:53,080
Yo tengo la curva de esta forma.
344
00:16:53,160 --> 00:16:56,320
Estos son sesenta minutos
y estos son noventa minutos,
345
00:16:56,400 --> 00:16:59,360
o sea, una hora y una hora y media.
346
00:16:59,440 --> 00:17:00,600
Una hora y media.
347
00:17:00,680 --> 00:17:04,480
Vamos a suponer que hasta acá
recorrió cien kilómetros
348
00:17:04,560 --> 00:17:09,600
y, hasta aquí, en noventa minutos,
recorrió ciento noventa kilómetros.
349
00:17:09,680 --> 00:17:14,240
Entonces, hizo noventa kilómetros,
esta medida que está acá,
350
00:17:14,320 --> 00:17:17,560
hizo noventa kilómetros
en media hora.
351
00:17:17,640 --> 00:17:21,200
Noventa kilómetros en media hora.
352
00:17:21,280 --> 00:17:23,280
Entonces, si hizo noventa kilómetros
en media hora,
353
00:17:23,360 --> 00:17:24,880
¿cuánto hizo por hora?
354
00:17:25,200 --> 00:17:28,960
Hizo ciento ochenta kilómetros
en una hora,
355
00:17:29,040 --> 00:17:30,560
¿estamos de acuerdo?
356
00:17:30,920 --> 00:17:32,160
O sea, esto--
357
00:17:32,760 --> 00:17:34,160
Ahora, si yo hiciera lo siguiente:
358
00:17:34,240 --> 00:17:37,840
si en lugar de medir con sesenta,
noventa o treinta minutos,
359
00:17:37,920 --> 00:17:39,520
mido a setenta minutos,
360
00:17:39,600 --> 00:17:42,160
y vemos que él hizo ciento veinte--
361
00:17:42,240 --> 00:17:45,680
Si recorrió veinte kilómetros
en diez minutos,
362
00:17:46,160 --> 00:17:48,320
entonces, ¿cuánto hizo por hora?
363
00:17:49,200 --> 00:17:50,880
Tengo que multiplicar por seis
364
00:17:50,960 --> 00:17:53,440
porque, si en diez minutos
hizo veinte kilómetros,
365
00:17:53,520 --> 00:17:56,200
quiere decir que hizo
ciento veinte kilómetros
366
00:17:56,280 --> 00:18:00,000
en una hora, ¿estamos de acuerdo?
Porque multiplico por sesenta.
367
00:18:00,080 --> 00:18:01,880
Voy a avanzar un paso más.
368
00:18:01,960 --> 00:18:05,480
Supongamos ahora
que voy a mirar en un minuto.
369
00:18:05,560 --> 00:18:08,040
O sea, de sesenta a sesenta y uno.
370
00:18:08,120 --> 00:18:09,200
En un minuto y vamos a suponer
371
00:18:09,280 --> 00:18:12,680
que hizo
ciento un kilómetros y medio,
372
00:18:12,760 --> 00:18:14,280
llegó a ciento uno y medio,
373
00:18:14,360 --> 00:18:16,920
es decir que ¿cuánto hizo en total?
374
00:18:17,000 --> 00:18:20,720
Un kilómetro y medio en un minuto.
375
00:18:20,800 --> 00:18:23,720
¿Por cuánto hay que multiplicar esto
para calcular la velocidad?
376
00:18:23,800 --> 00:18:27,600
Por sesenta. Sesenta por esto
da noventa kilómetros por hora.
377
00:18:27,680 --> 00:18:28,960
Fíjense lo que está pasando,
378
00:18:29,040 --> 00:18:32,600
a medida que yo me voy acercando
y haciendo esto,
379
00:18:32,680 --> 00:18:33,760
voy dividiendo esto,
380
00:18:33,840 --> 00:18:37,280
lo que estoy logrando
es aproximarme cada vez más
381
00:18:37,360 --> 00:18:39,880
a la velocidad que iba llevando
¿en qué momento?
382
00:18:39,960 --> 00:18:41,600
Cuando estaba acá,
383
00:18:41,680 --> 00:18:43,760
cuando pasaba exactamente
por la hora.
384
00:18:43,840 --> 00:18:47,360
Mirando lo que estaba pasando,
si lo hacía en grande,
385
00:18:47,440 --> 00:18:48,960
entonces, me daba que estaba yendo
386
00:18:49,040 --> 00:18:51,360
a ciento ochenta kilómetros por hora
de promedio.
387
00:18:51,440 --> 00:18:54,040
De la otra manera me estaba dando
ciento veinte kilómetros.
388
00:18:54,120 --> 00:18:56,440
Si estoy aquí,
me da noventa kilómetros.
389
00:18:56,520 --> 00:18:59,280
En definitiva, a medida
que me voy acercando
390
00:18:59,360 --> 00:19:00,920
y haciendo ese cociente,
391
00:19:01,000 --> 00:19:03,480
cada vez voy a tender ¿a qué cosa?
392
00:19:03,560 --> 00:19:07,880
En el límite, como veíamos antes,
¿qué me va a dar? ¿La velocidad qué?
393
00:19:07,960 --> 00:19:09,560
-Instantánea.
-La velocidad instantánea
394
00:19:09,640 --> 00:19:12,840
en el momento en el que estaba
justo pasando por una hora.
395
00:19:12,960 --> 00:19:16,840
Bueno, esa es la forma
en la que uno aprovecha el límite
396
00:19:16,920 --> 00:19:19,520
para poder medir,
por ejemplo, velocidades.
397
00:19:19,800 --> 00:19:21,360
Bueno, nosotros
vamos a hacer un recreo
398
00:19:21,440 --> 00:19:24,720
e inmediatamente después
seguimos con "Alterados por pi".
399
00:19:24,800 --> 00:19:30,680
[Aplausos]
400
00:19:30,760 --> 00:19:34,560
[Música alegre]
401
00:19:36,440 --> 00:19:39,000
(Adrián Paenza)
¿Recuerda cuando,
en alguna parte de este programa,
402
00:19:39,080 --> 00:19:41,920
le planteé esta sucesión de símbolos
403
00:19:42,000 --> 00:19:45,400
que habían aparecido en un libro
de Guillermo Martínez,
404
00:19:45,480 --> 00:19:47,240
el escritor argentino,
405
00:19:47,320 --> 00:19:50,400
en su obra
"Crímenes imperceptibles"?
406
00:19:52,560 --> 00:19:55,680
Allí Guillermo ponía estos símbolos
407
00:19:57,280 --> 00:19:58,560
y la pregunta era:
408
00:19:58,640 --> 00:20:02,160
¿cuál es la forma natural
de seguir con esta sucesión?
409
00:20:02,880 --> 00:20:05,440
¿Hay alguna manera esperable,
410
00:20:05,520 --> 00:20:08,040
más allá de que haya infinitas
en realidad?
411
00:20:08,120 --> 00:20:10,560
Y la respuesta es la siguiente:
412
00:20:10,880 --> 00:20:15,720
fíjense que el primer símbolo
es un número uno
413
00:20:15,800 --> 00:20:18,320
y acá se ve como reflejado
en un espejo.
414
00:20:19,320 --> 00:20:24,480
El segundo símbolo es el número dos
y reflejado en un espejo.
415
00:20:25,560 --> 00:20:28,240
El número, tres otra vez
416
00:20:28,320 --> 00:20:31,520
como si estuviera reflejado
en un espejo
417
00:20:31,800 --> 00:20:36,720
y así lo mismo con el cuatro,
con el cinco, con el seis.
418
00:20:36,800 --> 00:20:41,040
Entonces, el símbolo natural
que debería venir
419
00:20:41,120 --> 00:20:43,440
es poner así el número siete,
420
00:20:44,320 --> 00:20:46,160
buscar su imagen especular,
421
00:20:46,240 --> 00:20:49,720
o sea, lo que pasaría
si uno pone aquí un espejo
422
00:20:49,800 --> 00:20:54,520
y, en definitiva, el símbolo
que debería seguir es el siguiente.
423
00:21:04,640 --> 00:21:09,560
[Música alegre]
424
00:21:09,640 --> 00:21:14,240
[Aplausos]
425
00:21:14,320 --> 00:21:16,320
Vamos a hacer ahora
otra vez un juego.
426
00:21:16,400 --> 00:21:18,520
¿Quiere pasar usted?
Necesito una persona.
427
00:21:18,600 --> 00:21:19,760
Sí, usted.
428
00:21:20,320 --> 00:21:22,240
Tengo que elegir alguna persona.
429
00:21:23,280 --> 00:21:25,480
Les voy a contar en qué consiste
el juego y en particular--
430
00:21:25,560 --> 00:21:26,760
-¿Cómo es su nombre?
-Paula.
431
00:21:26,840 --> 00:21:28,880
Paula. Venga, Paula.
432
00:21:29,160 --> 00:21:31,920
Le voy a pedir un favor.
Mire, vamos a hacer lo siguiente:
433
00:21:32,000 --> 00:21:34,720
acá ustedes créanme
sin haber contado
434
00:21:34,800 --> 00:21:36,760
que hay cien cartas en total.
435
00:21:36,840 --> 00:21:38,880
De las cien cartas hay diez
436
00:21:39,400 --> 00:21:42,680
–tres, cinco, siete, nueve, diez–
que están dadas vueltas.
437
00:21:42,760 --> 00:21:45,320
Y ella va a darlas vuelta,
va a hacer lo que quiera.
438
00:21:45,400 --> 00:21:48,040
Las que están dadas vuelta
déjelas dadas vuelta, ¿está bien?
439
00:21:48,120 --> 00:21:50,520
Y usted démelas todas
y yo voy a hacer esto:
440
00:21:50,600 --> 00:21:51,800
ella me las va a dar,
yo me voy a dar vuelta
441
00:21:51,880 --> 00:21:54,640
y no voy a mirar,
les voy a mostrar que no miro
442
00:21:54,720 --> 00:21:55,760
y yo lo que voy a hacer
443
00:21:55,840 --> 00:21:59,840
es separar las cartas
en dos grupos sin mirar,
444
00:21:59,920 --> 00:22:04,360
de manera tal que la cantidad
de cartas dadas vuelta que hay
445
00:22:04,440 --> 00:22:06,640
va a ser la misma
en el grupo que tiene ella
446
00:22:06,720 --> 00:22:09,040
y en el grupo que me quedo yo.
¿Estamos de acuerdo?
447
00:22:09,120 --> 00:22:11,040
-Estamos de acuerdo.
-Muy bien.
448
00:22:13,240 --> 00:22:16,400
Yo no veo nada, cuando las tenga,
démelas en la mano.
449
00:22:20,000 --> 00:22:21,320
Acá hay una parte.
450
00:22:21,720 --> 00:22:23,600
-Yo las quiero todas, Paula, ¿eh?
-Sí, sí, sí.
451
00:22:23,680 --> 00:22:24,920
No, está bien.
452
00:22:27,080 --> 00:22:28,640
-Muy bien.
-¿Ya están todas?
453
00:22:28,720 --> 00:22:30,480
Bueno, me voy a sacar los anteojos,
454
00:22:30,560 --> 00:22:34,160
usted tápeme la cara
para que yo no vea nada.
455
00:22:34,640 --> 00:22:37,280
Para que la gente me crea
que no veo nada, ¿okey?
456
00:22:37,360 --> 00:22:40,200
¿Estamos de acuerdo?
Bueno, momentito ¿eh?
457
00:22:41,800 --> 00:22:43,160
Momentito.
458
00:22:43,280 --> 00:22:45,400
Bueno, ya está,
ahora tenga esas ahí usted.
459
00:22:45,480 --> 00:22:46,520
-¿Las tiene ahí?
-Sí.
460
00:22:46,600 --> 00:22:48,440
Téngalas así
como las tenía antes, ¿está bien?
461
00:22:48,520 --> 00:22:49,560
-Sí.
-Muy bien.
462
00:22:49,640 --> 00:22:52,200
Ahora vamos a hacer lo siguiente:
ahora me voy a dar vuelta
463
00:22:52,280 --> 00:22:56,160
y la cantidad de cartas
que usted tiene ahí boca arriba
464
00:22:56,240 --> 00:22:58,840
es la misma cantidad
que las que yo tengo boca arriba.
465
00:22:58,920 --> 00:23:00,280
-¿Vamos a probar?
-Vamos a probar.
466
00:23:00,360 --> 00:23:02,040
¿Cuántas cuenta usted?
467
00:23:03,120 --> 00:23:04,680
-Una.
-Una.
468
00:23:06,160 --> 00:23:07,280
Sí.
469
00:23:07,400 --> 00:23:08,520
-Dos.
-Dos.
470
00:23:09,920 --> 00:23:11,000
Tres.
471
00:23:11,960 --> 00:23:13,160
Cuatro.
472
00:23:13,600 --> 00:23:15,000
Cinco.
473
00:23:15,640 --> 00:23:16,960
Seis.
474
00:23:17,040 --> 00:23:18,120
Siete.
475
00:23:18,200 --> 00:23:20,840
-Una, dos, tres--
-Ah, ocho.
476
00:23:20,920 --> 00:23:23,680
Tres, cuatro, cinco, seis, siete--
477
00:23:24,920 --> 00:23:27,520
Paula, no puede ser.
478
00:23:27,600 --> 00:23:29,480
No, no, no, pero yo lo hice bien.
479
00:23:29,560 --> 00:23:31,520
-Ah, le falta una.
-Me falta una, me falta una.
480
00:23:31,600 --> 00:23:33,080
Le falta una, tiene nueve.
481
00:23:33,160 --> 00:23:36,040
Dos, cuatro, seis, ocho y nueve.
482
00:23:36,120 --> 00:23:39,520
Y yo tengo dos, cuatro, seis,
ocho y nueve.
483
00:23:39,600 --> 00:23:40,880
Eh, dio bien.
484
00:23:40,960 --> 00:23:43,960
[Aplausos]
485
00:23:44,040 --> 00:23:45,360
¿Okey?
486
00:23:46,040 --> 00:23:49,160
Bueno, ahora quiero contarles
por qué salió bien esto.
487
00:23:49,240 --> 00:23:50,560
¿Qué es lo que sucede?
488
00:23:50,640 --> 00:23:55,040
Acá había tres y tres, seis
y una, siete, ocho, nueve y diez.
489
00:23:55,120 --> 00:23:58,040
Cuando Paula me da las cartas,
ella mezcla estas
490
00:23:58,120 --> 00:23:59,520
y las pone de alguna manera acá,
491
00:23:59,600 --> 00:24:00,760
-¿okey?
-Sí.
492
00:24:00,840 --> 00:24:02,520
Entonces, ella sigue teniendo acá
493
00:24:02,600 --> 00:24:04,720
diez cartas dadas vuelta
de esta forma.
494
00:24:04,800 --> 00:24:07,280
Vamos a hacerlo más rápido
porque, si no, nos va a pasar--
495
00:24:07,360 --> 00:24:11,520
Así, las voy a poner acá,
acá y encima se cayó una.
496
00:24:11,600 --> 00:24:13,520
-Déjela, déjela, no se preocupe.
-Está bien.
497
00:24:13,600 --> 00:24:15,200
-¿La puede agarrar?
-Sí.
498
00:24:15,280 --> 00:24:17,520
Bueno, fenómeno, entonces,
yo las pongo de alguna manera.
499
00:24:17,600 --> 00:24:21,480
Cuando ella me da esto,
yo agarro y cuento diez cartas.
500
00:24:21,560 --> 00:24:26,160
Sin que nadie vea agarro y cuento:
una, dos, tres, cuatro, cinco,
501
00:24:26,240 --> 00:24:28,760
seis, siete, ocho, nueve y diez.
502
00:24:28,840 --> 00:24:32,160
Yo me separo diez
y le devuelvo estas.
503
00:24:32,240 --> 00:24:35,080
Ahora fíjense una cosa.
Yo no puedo ver,
504
00:24:35,160 --> 00:24:39,600
pero las que había dadas vuelta
están así, ¿estamos de acuerdo?
505
00:24:39,680 --> 00:24:42,000
Si acá hay una dada vuelta,
506
00:24:42,080 --> 00:24:43,520
¿cuántas quedaron ahí
dadas vuelta?
507
00:24:43,600 --> 00:24:44,640
-Nueve.
-Nueve.
508
00:24:44,720 --> 00:24:48,080
Entonces, si yo hago todo esto así,
¿qué es lo que pasa?
509
00:24:48,160 --> 00:24:50,640
Las nueve ahora están dadas vuelta,
510
00:24:50,720 --> 00:24:52,720
hay nueve dadas vuelta
de esta manera.
511
00:24:52,800 --> 00:24:53,720
¿Estamos de acuerdo?
512
00:24:53,800 --> 00:24:56,520
O sea que me dé lo que me dé,
yo las doy todas vuelta
513
00:24:56,600 --> 00:24:59,920
y después las presento.
Y eso es lo que hacen los magos.
514
00:25:00,000 --> 00:25:01,560
Nos vamos, muchas gracias
515
00:25:01,640 --> 00:25:04,320
y seguimos como siempre
en "Alterados por pi".
516
00:25:04,400 --> 00:25:10,400
[Aplausos]
517
00:25:11,800 --> 00:25:17,800
[Música de cierre]