1
00:00:00,280 --> 00:00:04,000
[Música suave]
2
00:00:04,080 --> 00:00:07,360
(Adrián Paenza)
¿La matemática se inventa
o se descubre?
3
00:00:09,000 --> 00:00:14,040
Esta pregunta, que a simple vista
parece bizarra, casi sin sentido,
4
00:00:14,480 --> 00:00:17,480
tiene toda una tradición
en el universo matemático.
5
00:00:18,400 --> 00:00:20,560
Como en tantas otras disciplinas,
6
00:00:20,880 --> 00:00:23,720
la biblioteca está dividida
entre quienes reivindican
7
00:00:23,800 --> 00:00:26,200
el carácter creativo
de la matemática
8
00:00:26,280 --> 00:00:29,000
y quienes sostienen
que todo estaba ahí,
9
00:00:29,080 --> 00:00:30,720
en la naturaleza.
10
00:00:30,800 --> 00:00:33,560
Todo lo que había que hacer
era descubrirlo.
11
00:00:37,880 --> 00:00:40,520
Veamos a ambos lados
de la biblioteca.
12
00:00:41,080 --> 00:00:44,600
Leopold Kronecker fue
un matemático alemán del siglo XIX
13
00:00:44,680 --> 00:00:48,360
que decía:
"Dios creó los números enteros,
14
00:00:48,560 --> 00:00:50,840
todo lo demás es obra del hombre".
15
00:00:54,640 --> 00:00:57,440
Su colega y compatriota,
Gottlob Frege,
16
00:00:57,760 --> 00:01:00,920
unos años después,
opinaba distinto y aseguraba:
17
00:01:01,480 --> 00:01:05,000
"El matemático no puede
producir algo arbitrariamente,
18
00:01:05,080 --> 00:01:06,320
como un geógrafo.
19
00:01:06,800 --> 00:01:10,080
Él solo puede descubrir
lo que existe y darle un nombre".
20
00:01:10,960 --> 00:01:13,720
Para entender
qué antigua es esta discusión,
21
00:01:14,000 --> 00:01:15,920
vale la pena citar a Platón,
22
00:01:16,160 --> 00:01:19,120
que creía que había
un mundo de las ideas matemáticas
23
00:01:19,200 --> 00:01:22,360
donde podían encontrarse
todas estas ideas,
24
00:01:22,440 --> 00:01:24,480
desde el círculo y las parábolas
25
00:01:24,560 --> 00:01:27,600
hasta los número primos
y la función exponencial.
26
00:01:28,360 --> 00:01:30,120
De un lado o del otro,
27
00:01:30,200 --> 00:01:34,320
creo que es imposible ignorar que,
inventando o descubriendo,
28
00:01:34,400 --> 00:01:38,040
la matemática es, definitivamente,
una tarea creativa.
29
00:01:42,760 --> 00:01:48,760
[Música de presentación]
30
00:02:17,280 --> 00:02:20,920
Usted escuchó hablar de las palabras
"crecimiento exponencial".
31
00:02:21,000 --> 00:02:22,360
Crecimiento exponencial.
32
00:02:22,440 --> 00:02:25,000
En realidad, en la vida cotidiana,
cuando uno escucha hablar
33
00:02:25,080 --> 00:02:27,320
en la radio, en la televisión,
cuando lo lee en un diario,
34
00:02:27,400 --> 00:02:30,760
uno inmediatamente asocia que algo
ha crecido exponencialmente,
35
00:02:30,840 --> 00:02:33,400
como que ha crecido rapidísimo.
36
00:02:33,480 --> 00:02:35,120
Entonces,
lo que yo quiero hacer ahora
37
00:02:35,200 --> 00:02:36,760
es plantearles un problema
38
00:02:36,840 --> 00:02:39,000
de manera tal
que se puedan imaginar
39
00:02:39,080 --> 00:02:42,520
qué entendemos los matemáticos
por crecimiento exponencial.
40
00:02:42,960 --> 00:02:44,120
Supongamos que una compañía
41
00:02:44,200 --> 00:02:46,240
necesita desarrollar
un cierto trabajo
42
00:02:46,320 --> 00:02:50,200
y para eso contrata a una consultora
que busque dos presupuestos
43
00:02:50,280 --> 00:02:52,080
y, en función
de los dos presupuestos,
44
00:02:52,160 --> 00:02:55,080
tomar una decisión
sobre lo que convendría hacer.
45
00:02:55,160 --> 00:02:56,520
Y esto es lo que pasa.
46
00:02:56,600 --> 00:03:02,600
[Música suave]
47
00:03:02,680 --> 00:03:06,360
(Adrián Paenza)
El primer presupuesto
es de cien mil pesos diarios
48
00:03:06,440 --> 00:03:09,200
a lo largo de los treinta días
que dura el mes.
49
00:03:09,800 --> 00:03:13,520
El segundo presupuesto
es de un peso el primer día,
50
00:03:14,040 --> 00:03:18,880
dos el segundo, cuatro el tercero
y así hasta llegar a fin de mes,
51
00:03:19,200 --> 00:03:21,240
duplicando el pago cada día.
52
00:03:22,160 --> 00:03:24,680
¿Cuál de los dos presupuestos
hay que elegir?
53
00:03:25,200 --> 00:03:28,520
El primero exige un pago
de tres millones de pesos.
54
00:03:29,280 --> 00:03:31,480
El segundo parece irrisorio,
55
00:03:32,040 --> 00:03:36,320
pero termina siendo
357 veces más caro
56
00:03:36,960 --> 00:03:39,600
exigiendo, en todo caso,
un desembolso
57
00:03:39,680 --> 00:03:45,200
de 1.073.741.823 pesos.
58
00:03:46,040 --> 00:03:47,920
Es decir que, si los tres millones
59
00:03:48,000 --> 00:03:50,640
estuvieran representados
por este caramelo,
60
00:03:51,560 --> 00:03:55,240
la otra alternativa,
de los más de 1073 millones,
61
00:03:55,320 --> 00:03:59,400
representaría estos 357 caramelos.
62
00:04:00,960 --> 00:04:04,800
Entonces, uno tiene asociadas
las palabras crecimiento exponencial
63
00:04:04,880 --> 00:04:08,080
con algo que crece vertiginosamente,
que crece muy rápidamente,
64
00:04:08,160 --> 00:04:10,080
que crece en forma gigantesca
65
00:04:10,160 --> 00:04:12,640
y está bien que uno tenga
eso en la cabeza.
66
00:04:12,720 --> 00:04:16,000
Sin embargo, no todo
crecimiento veloz es exponencial.
67
00:04:16,400 --> 00:04:17,520
Fíjense.
68
00:04:18,320 --> 00:04:20,120
El crecimiento exponencial
69
00:04:20,200 --> 00:04:23,080
no tiene que ver con que
estemos manejando números grandes,
70
00:04:23,160 --> 00:04:26,800
sino con cómo va creciendo
una magnitud a lo largo del tiempo.
71
00:04:27,520 --> 00:04:31,200
Lo importante es que,
a intervalos iguales de tiempo,
72
00:04:31,280 --> 00:04:34,120
siempre crece
no en una cantidad fija,
73
00:04:34,200 --> 00:04:35,800
sino en un porcentaje fijo.
74
00:04:36,360 --> 00:04:39,800
Es decir, multiplicado
por un factor constante.
75
00:04:40,600 --> 00:04:42,360
En el ejemplo del consultor,
76
00:04:42,440 --> 00:04:45,440
cada día cobraba el doble
que el día anterior,
77
00:04:45,520 --> 00:04:47,520
es decir, el factor es dos.
78
00:04:49,320 --> 00:04:51,840
Entonces, el crecimiento exponencial
79
00:04:51,920 --> 00:04:54,280
lo que hace es que uno empieza
con un término
80
00:04:54,360 --> 00:04:57,120
y el siguiente lo obtiene
multiplicando por un número,
81
00:04:57,200 --> 00:04:58,960
y el siguiente lo multiplica
por el mismo número
82
00:04:59,040 --> 00:05:01,800
y después por el mismo número.
Es decir, uno, dos;
83
00:05:01,880 --> 00:05:03,960
dos por dos, cuatro;
cuatro por dos, ocho;
84
00:05:04,040 --> 00:05:06,920
ocho por dos, dieciséis;
dieciséis por dos, treinta y dos.
85
00:05:07,000 --> 00:05:09,320
Uno podría hacer esto también
multiplicando por tres.
86
00:05:09,400 --> 00:05:11,680
Uno, después por tres,
tres por tres nueve;
87
00:05:11,760 --> 00:05:13,080
nueve por tres, veintisiete.
88
00:05:13,160 --> 00:05:15,880
En fin, con un dos, con un tres,
con un cuatro coma cinco,
89
00:05:15,960 --> 00:05:17,200
con cualquier número.
90
00:05:17,280 --> 00:05:19,360
Eso es un crecimiento exponencial.
91
00:05:21,520 --> 00:05:23,320
Pero también puede darse el caso
92
00:05:23,400 --> 00:05:26,560
de que, a cada paso,
se reduzca la mitad
93
00:05:26,640 --> 00:05:30,120
y, en este caso, vamos a hablar
de decrecimiento exponencial.
94
00:05:30,840 --> 00:05:34,440
Esto es lo que sucede, por ejemplo,
con el carbono catorce,
95
00:05:34,520 --> 00:05:37,400
una sustancia presente
en todo ser vivo
96
00:05:37,480 --> 00:05:41,720
y que se reduce a la mitad
cada 5730 años,
97
00:05:41,800 --> 00:05:43,960
una vez que este ser se muere.
98
00:05:46,240 --> 00:05:49,640
Si encuentran un fósil que tiene
la mitad de carbono catorce
99
00:05:49,720 --> 00:05:51,720
de lo que se esperaría
si estuviera vivo,
100
00:05:51,800 --> 00:05:55,920
saben que esa criatura murió
hace 5730 años.
101
00:05:56,280 --> 00:05:59,840
En cambio,
si el fósil tiene la cuarta parte,
102
00:05:59,920 --> 00:06:03,080
saben que murió hace 11.460
103
00:06:03,680 --> 00:06:06,240
y, si el fósil tiene
una octava parte
104
00:06:06,320 --> 00:06:08,640
de ese carbono catorce
que debería tener,
105
00:06:08,720 --> 00:06:12,440
saben que murió hace 17.190 años.
106
00:06:14,920 --> 00:06:17,880
Ahora la pregunta que uno
se podría hacer es la siguiente:
107
00:06:17,960 --> 00:06:19,600
¿Será el crecimiento exponencial
108
00:06:19,680 --> 00:06:22,560
el más rápido de todos
los posibles crecimientos?
109
00:06:22,960 --> 00:06:26,120
Es decir, si uno tuviera
que hacer crecer una sucesión
110
00:06:26,200 --> 00:06:29,440
que empieza un número, después otro,
después otro, después otro,
111
00:06:29,520 --> 00:06:33,040
¿el crecimiento exponencial es,
de todos los posibles crecimientos,
112
00:06:33,120 --> 00:06:34,440
el más rápido?
113
00:06:34,520 --> 00:06:37,560
¿O hay algunos que crecen todavía
más velozmente?
114
00:06:37,800 --> 00:06:41,560
Esa es una pregunta para pensar,
esa es una pregunta para discutir.
115
00:06:42,120 --> 00:06:45,560
[Música alegre]
116
00:06:45,640 --> 00:06:48,720
[Música alegre]
117
00:06:48,800 --> 00:06:50,920
(Pettinato como Gato de Verdaguer)
Hola, ¿qué tal? ¿Cómo les va?
118
00:06:51,000 --> 00:06:54,240
Le voy a contar este chiste
a la gente que le gusta.
119
00:06:54,680 --> 00:06:59,440
"Carlitos, si en un bolsillo
del saco tuvieras veinte pesos
120
00:06:59,880 --> 00:07:03,000
y en el otro, setenta pesos,
¿entonces tendrías...?".
121
00:07:03,080 --> 00:07:05,040
Dice: "Un saco que no es mío".
122
00:07:05,120 --> 00:07:06,320
[Risas]
123
00:07:07,080 --> 00:07:12,360
[Música alegre]
124
00:07:15,200 --> 00:07:17,400
(Adrián Paenza)
Lo fascinante de la matemática
125
00:07:17,480 --> 00:07:20,240
es que nos permite disfrutar
de resolver problemas,
126
00:07:20,320 --> 00:07:24,720
como, por ejemplo, ganar este juego,
que se llama "cuatro en línea".
127
00:07:28,720 --> 00:07:31,160
Juan Carlos Pedraza
se dedica a enseñar
128
00:07:31,320 --> 00:07:33,880
a los que recién ingresan
a la facultad.
129
00:07:34,680 --> 00:07:36,000
¿Cómo lo hace?
130
00:07:36,080 --> 00:07:39,160
¿Cuán difícil es esa tarea
de formar un profesional?
131
00:07:41,040 --> 00:07:43,160
¿A vos cómo te afectó la matemática?
132
00:07:44,080 --> 00:07:46,320
-A mí maravillosamente.
-Contame.
133
00:07:46,400 --> 00:07:48,840
Esa es una respuesta bárbara.
Decime cómo.
134
00:07:49,280 --> 00:07:52,600
Mirá, fue casi de casualidad
135
00:07:52,680 --> 00:07:55,880
porque yo viví
toda mi infancia en Liniers.
136
00:07:56,280 --> 00:08:01,680
Iba a una escuela parroquial,
que era perito mercantil.
137
00:08:02,200 --> 00:08:05,560
Todo el entorno era que yo
tenía que ser contador público.
138
00:08:06,480 --> 00:08:10,000
En la escuela,
la matemática te estigmatiza.
139
00:08:10,080 --> 00:08:14,080
En general, dado cómo se enseña--
140
00:08:14,160 --> 00:08:18,920
En general, la adquisición
de ciertas propiedades,
141
00:08:19,000 --> 00:08:20,720
de ciertas reglas precisas,
142
00:08:20,800 --> 00:08:26,040
cuando uno tiene dificultades,
en general, genera traumas a futuro,
143
00:08:26,480 --> 00:08:30,360
pero esas mismas dificultades
hacen que aquel que las aprende
144
00:08:30,440 --> 00:08:32,760
tenga un cierto privilegio,
un raro privilegio
145
00:08:32,840 --> 00:08:35,360
porque, por un lado, parece ser
que es una persona
146
00:08:35,440 --> 00:08:38,600
con ciertos dotes,
que es falso, ¿no? Pero así es.
147
00:08:38,680 --> 00:08:40,640
Y, por otro lado, un bicho raro.
148
00:08:41,360 --> 00:08:44,040
Yo era bueno para las matemáticas
de la escuela,
149
00:08:44,120 --> 00:08:47,040
pero mi sorpresa fue cuando decidí--
150
00:08:47,120 --> 00:08:48,800
Tuve la suerte de que tenía
dos hermanos mayores
151
00:08:48,880 --> 00:08:51,120
que habían pasado
por la Facultad de Ciencias,
152
00:08:51,200 --> 00:08:53,400
con lo cual mi entrada
a la Facultad de Ciencias Exactas
153
00:08:53,480 --> 00:08:54,680
fue más o menos natural.
154
00:08:54,760 --> 00:08:57,640
"Es bueno para las matemáticas".
Ahí fui.
155
00:08:57,760 --> 00:08:59,440
¿Cuántos alumnos hay en el CBC?
156
00:08:59,520 --> 00:09:01,400
Y entran nuevos sesenta mil.
157
00:09:01,480 --> 00:09:05,640
El CBC tiene en el orden
de 80.000 o 90.000 alumnos por año,
158
00:09:06,000 --> 00:09:08,400
entre gente que recursa
y alumnos nuevos.
159
00:09:08,480 --> 00:09:10,920
Ya han pasado más de un millón
de estudiantes desde su creación.
160
00:09:11,000 --> 00:09:13,080
-¿Han pasado más de un millón?
-Sí, sí.
161
00:09:13,160 --> 00:09:15,640
Largo. Millón cien,
millón doscientos.
162
00:09:15,720 --> 00:09:21,720
[Música instrumental]
163
00:09:22,840 --> 00:09:26,120
Siempre hubo
una suerte de fascinación
164
00:09:26,200 --> 00:09:28,520
para aquel que está mirando
la matemática en alguna parte.
165
00:09:28,600 --> 00:09:32,600
Yo siempre les digo a los alumnos
cuando se presentan las dudas,
166
00:09:32,680 --> 00:09:35,160
si serán buenos para esto
y qué sé yo--
167
00:09:35,240 --> 00:09:39,160
Hay una parte que tiene que ver
con el placer, digamos,
168
00:09:39,240 --> 00:09:42,800
que es algo que siempre
se lo disocia del aprendizaje.
169
00:09:42,880 --> 00:09:45,320
¿A ver? Eso es muy importante.
A ver, contámelo.
170
00:09:45,400 --> 00:09:47,640
-¿Cómo podemos avanzar?
-Yo diría...
171
00:09:47,720 --> 00:09:51,560
A ver, cuando uno tiene facilidades,
resuelve un ejercicio,
172
00:09:51,640 --> 00:09:54,720
el más pedestre o el más abstracto
que a uno se le ocurra,
173
00:09:54,800 --> 00:09:57,920
hay un momento donde uno
llega al resultado final
174
00:09:58,000 --> 00:10:00,480
y en la primaria o en la secundaria
le ponen el recuadro,
175
00:10:00,560 --> 00:10:03,680
incluso con otro color.
Eso genera placer.
176
00:10:03,760 --> 00:10:06,960
Y uno lo ve en un chico de ocho años
177
00:10:07,240 --> 00:10:10,720
o lo ve en una persona grande
cuando hacés un desafío,
178
00:10:10,960 --> 00:10:15,080
que hasta por ahí ni se da cuenta de
que tiene que ver con la matemática
179
00:10:15,160 --> 00:10:16,240
y le sale.
180
00:10:16,320 --> 00:10:17,520
De golpe, hay un momento,
181
00:10:17,600 --> 00:10:19,760
hay una discontinuidad,
para hablar matemáticamente,
182
00:10:19,840 --> 00:10:22,160
entre el no entender y entender.
183
00:10:22,480 --> 00:10:23,640
De golpe, uno entiende.
184
00:10:23,720 --> 00:10:27,240
Por ahí, usando las mismas palabras
que usaba cuando no entendía.
185
00:10:27,320 --> 00:10:28,680
De golpe: "¡Ah!".
186
00:10:28,800 --> 00:10:31,360
Ese "ah" genera un placer que,
187
00:10:31,440 --> 00:10:34,120
cuando uno lo experimenta,
no lo quiere perder más.
188
00:10:34,200 --> 00:10:35,240
Quiere seguir.
189
00:10:35,320 --> 00:10:40,240
[Música instrumental]
190
00:10:40,320 --> 00:10:43,360
Lo que pasa es que también
la sociedad te prepara
191
00:10:43,440 --> 00:10:45,880
para que esos sean
los momentos de placer,
192
00:10:45,960 --> 00:10:48,320
que es aquel que llega a la solución
193
00:10:48,400 --> 00:10:50,640
y yo creo que también
hay un placer muy particular
194
00:10:50,720 --> 00:10:53,800
en el desarrollo
y en la búsqueda del camino.
195
00:10:53,880 --> 00:10:59,360
Si uno pudiera correr
de ese lugar tan privilegiado
196
00:10:59,440 --> 00:11:00,920
el llegar a un lugar.
197
00:11:01,000 --> 00:11:03,280
En realidad,
el placer está en el recorrido.
198
00:11:03,360 --> 00:11:04,400
Efectivamente.
199
00:11:04,480 --> 00:11:07,200
Entonces, los momentos de "ah"
serían mucho mayores
200
00:11:07,280 --> 00:11:08,680
porque uno está
todo el tiempo recorriendo.
201
00:11:08,760 --> 00:11:10,440
Es que siempre
hay un momento de "ah"
202
00:11:10,520 --> 00:11:13,600
porque,
en la resolución de problemas,
203
00:11:13,680 --> 00:11:16,920
lo que genera
es casi una escuela de valores
204
00:11:17,000 --> 00:11:22,200
porque uno le da valor al esfuerzo,
digamos, a los pequeños avances,
205
00:11:22,280 --> 00:11:24,320
a los retrocesos para después llegar
206
00:11:24,400 --> 00:11:27,720
y eso no solo es aplicable
a la matemática, digamos.
207
00:11:27,800 --> 00:11:29,680
Yo siempre le estoy agradecido
a la profesión
208
00:11:29,760 --> 00:11:32,880
porque yo me pude desenvolver
gracias a mi profesión
209
00:11:32,960 --> 00:11:35,280
porque, en general,
usaba los mismos--
210
00:11:35,560 --> 00:11:38,120
Siempre en la vida
se te presenta un problema.
211
00:11:38,600 --> 00:11:40,400
Y más o menos uno usa
212
00:11:40,480 --> 00:11:42,640
los mismos caminos
para atacar el problema.
213
00:11:42,720 --> 00:11:46,440
Entonces, cada pequeño avance,
cada pequeño logro
214
00:11:46,520 --> 00:11:50,200
uno lo disfruta como el todo
215
00:11:50,280 --> 00:11:51,720
porque a veces es lo único
que va a conseguir.
216
00:11:51,800 --> 00:11:53,320
Uno sabe que hasta ahí llegó uno
217
00:11:53,400 --> 00:11:55,360
y que el siguiente paso
lo va a dar otro
218
00:11:55,440 --> 00:11:57,800
porque uno no está en condiciones
219
00:11:57,880 --> 00:11:59,880
o porque hay otro
que va más rápido que uno
220
00:11:59,960 --> 00:12:02,720
o porque hasta ahí
es el momento de uno.
221
00:12:03,000 --> 00:12:05,600
¿Y hay valoración
dentro del Ciclo Básico
222
00:12:05,680 --> 00:12:07,240
de que eso es esencial?
223
00:12:07,880 --> 00:12:10,080
Es un año
en la vida de un estudiante
224
00:12:10,160 --> 00:12:13,920
y cargar tanta fuerza,
tanta responsabilidad en eso
225
00:12:14,000 --> 00:12:16,480
sería demasiado presuntuoso.
226
00:12:17,440 --> 00:12:18,600
Bueno, gracias.
227
00:12:20,080 --> 00:12:21,920
En la siguiente te doy mate.
228
00:12:22,000 --> 00:12:23,760
¿En la siguiente me das mate?
229
00:12:23,840 --> 00:12:25,680
-Voy a poner acá esta.
-Sí, sí.
230
00:12:25,760 --> 00:12:31,240
[Música instrumental suave]
231
00:12:31,320 --> 00:12:37,320
[Música alegre]
232
00:12:41,160 --> 00:12:43,560
[Música suave]
233
00:12:43,640 --> 00:12:45,400
La vida en el infinito.
234
00:12:45,480 --> 00:12:47,800
¿Cómo es la vida en el infinito?
¿Qué es lo que pasa allí?
235
00:12:47,880 --> 00:12:50,200
¿Por qué hay
tantas cosas desafiantes?
236
00:12:50,280 --> 00:12:52,040
¿Por qué la intuición pareciera
237
00:12:52,120 --> 00:12:54,840
como que lo que uno hace
y piensa habitualmente,
238
00:12:54,920 --> 00:12:57,720
cuando uno va al infinito,
ya cambian las cosas?
239
00:12:57,800 --> 00:12:59,720
Hoy, quiero plantear algo
que tiene que ver
240
00:12:59,800 --> 00:13:03,600
como si en el mundo pudiera haber,
por ejemplo, infinitas bolitas
241
00:13:03,680 --> 00:13:06,360
y uno las quisiera poner
dentro de una bolsa.
242
00:13:06,440 --> 00:13:07,920
Lo quiero desafiar.
243
00:13:10,200 --> 00:13:12,160
Y yo le voy a decir
cómo es el desafío.
244
00:13:12,240 --> 00:13:15,320
Vamos a suponer
que uno tuviera infinitas bolitas.
245
00:13:15,600 --> 00:13:18,120
Yo sé que infinitas bolitas
no existen,
246
00:13:18,200 --> 00:13:19,360
yo también sé que, en realidad,
247
00:13:19,440 --> 00:13:21,240
no habría material
para construirlas,
248
00:13:21,320 --> 00:13:23,480
pero le estoy pidiendo a usted
que sea generoso
249
00:13:23,560 --> 00:13:27,320
y que me conceda esta licencia,
una suerte de licencia poética.
250
00:13:27,400 --> 00:13:30,080
Hagamos de cuenta
que esta fantasía es posible.
251
00:13:30,160 --> 00:13:32,080
Pero acompáñeme
al mundo del infinito
252
00:13:32,160 --> 00:13:34,520
para ver si esto
que le quiero proponer
253
00:13:34,600 --> 00:13:36,720
es un desafío que podemos saltear
254
00:13:36,800 --> 00:13:38,880
y, atentando contra la intuición,
255
00:13:38,960 --> 00:13:42,920
sortear este tipo de obstáculo
que aparece en frente de nosotros.
256
00:13:43,200 --> 00:13:45,800
Supongamos, entonces,
que uno tiene infinitas bolitas
257
00:13:45,880 --> 00:13:47,440
y que uno numera las bolitas.
258
00:13:47,520 --> 00:13:50,520
La bolita número uno, dos, tres,
cuatro, cinco, seis.
259
00:13:51,280 --> 00:13:55,000
Es decir, uno lo que tiene
es una cantidad infinita de bolitas
260
00:13:55,080 --> 00:13:58,760
y las ha puesto todas en hilera
y, además, tengo una bolsa.
261
00:13:59,120 --> 00:14:00,400
Una bolsa donde voy a empezar
262
00:14:00,480 --> 00:14:02,480
con un procedimiento,
que ahora voy a explicar.
263
00:14:02,560 --> 00:14:04,280
Voy a agarrar algunas de las bolitas
264
00:14:04,360 --> 00:14:06,880
y las voy a ir empezando a poner
en la bolsa
265
00:14:06,960 --> 00:14:08,440
y después voy a sacar algunas.
266
00:14:08,520 --> 00:14:09,880
Ahora le digo cómo.
267
00:14:10,680 --> 00:14:11,720
Así.
268
00:14:12,320 --> 00:14:14,920
Cuando van a ser
las doce de la noche,
269
00:14:15,000 --> 00:14:17,640
yo tengo un amigo con un cronómetro
y le digo: "Haceme un favor.
270
00:14:17,720 --> 00:14:21,240
Cuando falte un minuto
para las doce de la noche, avisame".
271
00:14:21,560 --> 00:14:23,560
Y, en los primeros treinta segundos,
272
00:14:23,640 --> 00:14:26,880
o sea, en la mitad del tiempo
que falta para medianoche,
273
00:14:26,960 --> 00:14:30,040
yo lo que tengo que hacer es
agarrar las diez primeras bolitas,
274
00:14:30,120 --> 00:14:33,640
las numeradas del uno al diez,
y meterlas dentro de la bolsa.
275
00:14:33,720 --> 00:14:35,360
Tengo que hacer las cosas rápido.
276
00:14:35,440 --> 00:14:38,240
Saco las primeras diez bolitas,
las meto adentro de la bolsa
277
00:14:38,320 --> 00:14:41,480
y, en esos treinta segundos,
agarro la número uno y la saco.
278
00:14:41,560 --> 00:14:43,840
En realidad, las que van a quedar
después de los treinta segundos
279
00:14:43,920 --> 00:14:47,560
son la número dos, tres, cuatro,
así hasta la diez,
280
00:14:47,640 --> 00:14:50,160
pero la uno se quedó afuera.
¿Está claro?
281
00:14:50,240 --> 00:14:52,320
Entonces,
en los primeros treinta segundos,
282
00:14:52,400 --> 00:14:55,120
lo que hago es meter,
sacar de las bolitas que tenía acá,
283
00:14:55,200 --> 00:14:58,080
meterlas dentro de la bolsa
y sacar la número uno.
284
00:14:59,160 --> 00:15:02,560
Inmediatamente después,
en la mitad del tiempo que queda,
285
00:15:02,640 --> 00:15:06,040
o sea, ahora faltan treinta segundos
para que sean las doce de la noche,
286
00:15:06,120 --> 00:15:09,080
en la mitad de ese tiempo,
o sea, en quince segundos,
287
00:15:09,160 --> 00:15:10,400
en el segundo paso,
288
00:15:10,480 --> 00:15:13,480
agarro las bolitas que van
desde la once hasta la veinte.
289
00:15:13,560 --> 00:15:17,360
La once, doce, trece, catorce,
etcétera, y las pongo en la bolsa
290
00:15:17,440 --> 00:15:21,040
e, inmediatamente, lo que hago
en esos quince segundos que tengo
291
00:15:21,120 --> 00:15:23,240
es sacar la bolita número dos.
292
00:15:23,760 --> 00:15:26,280
En resumen,
cuando faltan quince segundos
293
00:15:26,360 --> 00:15:28,200
para que sean las doce de la noche,
294
00:15:28,280 --> 00:15:31,080
en la bolsa quedaron afuera ahora
la uno y la dos,
295
00:15:31,160 --> 00:15:33,800
pero adentro quedaron
desde la tres hasta la veinte.
296
00:15:33,880 --> 00:15:36,120
Y ahora, en los quince segundos
que quedan no,
297
00:15:36,200 --> 00:15:37,960
pero en la mitad del tiempo,
298
00:15:38,040 --> 00:15:40,640
o sea, en el tercer paso,
volviendo a dividir por dos
299
00:15:40,720 --> 00:15:42,000
el tiempo que falta,
300
00:15:42,080 --> 00:15:46,000
agarro las bolitas que van
desde la veintiuna hasta la treinta
301
00:15:46,080 --> 00:15:49,560
y las pongo dentro de la bolsa
y saco la bolita número tres.
302
00:15:50,360 --> 00:15:53,560
Inmediatamente después,
en la mitad del tiempo que queda,
303
00:15:53,640 --> 00:15:55,440
que ahora va a ser
tres segundos y fracción,
304
00:15:55,520 --> 00:15:58,760
agarro desde la bolita treinta y uno
hasta la cuarenta
305
00:15:58,840 --> 00:16:01,600
y las pongo adentro
y saco la bolita número cuatro.
306
00:16:01,680 --> 00:16:04,120
Es decir, en el cuarto paso,
saco la cuatro.
307
00:16:04,200 --> 00:16:06,120
Y así voy haciendo de manera tal
308
00:16:06,200 --> 00:16:08,640
que, en la mitad del tiempo
que me queda,
309
00:16:08,720 --> 00:16:12,440
voy tomando bolitas de a diez
ordenadamente,
310
00:16:12,520 --> 00:16:13,880
las meto adentro de la bolsa--
311
00:16:13,960 --> 00:16:15,680
Tengo que trabajar muy apurado,
eso es cierto.
312
00:16:15,760 --> 00:16:18,280
Y ahora lo hago cómodo:
agarro diez, saco la uno;
313
00:16:18,360 --> 00:16:20,200
meto las siguientes diez,
saco la dos;
314
00:16:20,280 --> 00:16:22,320
pongo las siguientes diez,
saco la tres;
315
00:16:22,400 --> 00:16:23,920
las siguientes diez,
saco la cuatro;
316
00:16:24,000 --> 00:16:27,120
las siguientes diez, saco la cinco
y así sucesivamente.
317
00:16:27,200 --> 00:16:30,040
En cada paso, por ejemplo,
en el paso treinta,
318
00:16:30,120 --> 00:16:32,080
meteré las bolitas correspondientes,
319
00:16:32,160 --> 00:16:34,680
pero voy a sacar
la bolita número treinta.
320
00:16:35,160 --> 00:16:38,800
La pregunta es: Cuando llega
el reloj a las doce de la noche,
321
00:16:39,240 --> 00:16:42,040
¿cuántas bolitas quedaron
dentro de la bolsa?
322
00:16:43,880 --> 00:16:46,400
¿Cuántas bolitas quedaron
dentro de la bolsa
323
00:16:46,480 --> 00:16:50,880
si yo apliqué este procedimiento
y cada vez, en el tiempo que falta,
324
00:16:50,960 --> 00:16:54,160
en la mitad del tiempo que falta
para cumplirse las doce de la noche,
325
00:16:54,240 --> 00:16:56,440
seguía con el procedimiento
de meter de a diez
326
00:16:56,520 --> 00:16:59,640
y sacar en el paso cuarenta
la bolita número cuarenta,
327
00:16:59,720 --> 00:17:03,160
en el paso setenta y tres,
la bolita número setenta y tres?
328
00:17:05,000 --> 00:17:07,920
La respuesta
atenta contra la intuición
329
00:17:08,000 --> 00:17:10,320
porque uno dice:
"Quedaron infinitas bolitas
330
00:17:10,400 --> 00:17:13,440
adentro de la bolsa".
Y, sin embargo, yo le preguntaría:
331
00:17:13,520 --> 00:17:16,880
"Si usted dice o está pensando
que quedaron infinitas bolitas,
332
00:17:16,960 --> 00:17:18,680
¿realmente quedaron
infinitas bolitas?".
333
00:17:18,760 --> 00:17:21,200
Por ejemplo, ¿qué bolita quedó?
La número uno no quedó
334
00:17:21,280 --> 00:17:23,000
porque ya sabe que la sacamos
en el primer paso.
335
00:17:23,080 --> 00:17:25,240
La dos tampoco, la tres tampoco.
336
00:17:25,320 --> 00:17:27,320
Y usted me va a decir:
"Bueno, pero quedó
337
00:17:27,400 --> 00:17:29,400
la número ciento cuarenta y cinco".
338
00:17:29,480 --> 00:17:30,560
Y yo le voy a decir: "No.
339
00:17:30,640 --> 00:17:33,120
La ciento cuarenta y cinco
tampoco quedó adentro
340
00:17:33,200 --> 00:17:36,440
porque yo la saqué
en el paso ciento cuarenta y cinco".
341
00:17:36,880 --> 00:17:38,680
"Bueno, pero entonces la 2500".
342
00:17:38,760 --> 00:17:41,560
"Pero la 2500 la saqué
en el paso 2500".
343
00:17:41,640 --> 00:17:45,160
Es decir,
por más que uno no lo pueda creer,
344
00:17:45,240 --> 00:17:46,960
cuando son las doce de la noche,
345
00:17:47,040 --> 00:17:49,640
adentro de la bolsa,
no hay ninguna bolita.
346
00:17:50,480 --> 00:17:52,360
La bolsa está vacía.
347
00:17:53,120 --> 00:17:59,120
[Música suave]
348
00:17:59,960 --> 00:18:02,440
[Música alegre]
349
00:18:02,520 --> 00:18:04,080
(Adrián Paenza)
Yo tengo diez monedas
350
00:18:04,160 --> 00:18:07,120
y las agrupo de manera tal
de formar un triángulo
351
00:18:07,360 --> 00:18:09,200
con el vértice hacia arriba.
352
00:18:09,960 --> 00:18:12,440
¿Cómo se puede hacer
para dar vuelta el triángulo
353
00:18:12,520 --> 00:18:14,720
moviendo nada más que tres monedas?
354
00:18:15,240 --> 00:18:16,960
Los desafío a pensar eso.
355
00:18:17,040 --> 00:18:23,040
[Música alegre]
356
00:18:25,160 --> 00:18:29,240
[Música instrumental]
357
00:18:29,320 --> 00:18:32,080
(Adrián Paenza)
La tarea de un oftalmólogo
requiere precisión.
358
00:18:32,840 --> 00:18:35,200
A través de cálculos y geometría,
359
00:18:35,280 --> 00:18:38,640
la matemática le ofrece elementos
para resolver su tarea.
360
00:18:40,880 --> 00:18:42,600
Para fabricar
casi todo tipo de lentes,
361
00:18:42,680 --> 00:18:45,200
siempre se parte de los datos
de la refracción
362
00:18:45,280 --> 00:18:46,440
que aporta el oftalmólogo,
363
00:18:46,800 --> 00:18:49,400
que corresponden a la graduación
o poder de la lente
364
00:18:49,720 --> 00:18:51,000
y después a esos datos
365
00:18:51,080 --> 00:18:55,520
el contactólogo les aporta también
mediciones que hace sobre la córnea.
366
00:18:56,280 --> 00:18:57,840
Estas mediciones son muy importantes
367
00:18:57,920 --> 00:19:01,200
para calcular la curva de base
de la lente, o sea, la cara interna,
368
00:19:01,280 --> 00:19:05,600
ya que la misma se hace
en función de las medidas de esta.
369
00:19:06,080 --> 00:19:10,080
O sea que el ajuste entre
la curva de base de la lente
370
00:19:10,160 --> 00:19:13,440
y la córnea tiene que ser
lo suficientemente preciso
371
00:19:13,520 --> 00:19:16,920
como para que no provoque
lesiones sobre la córnea
372
00:19:17,000 --> 00:19:19,320
y para, además, tener
un correcto funcionamiento.
373
00:19:19,400 --> 00:19:25,400
[Música instrumental]
374
00:19:25,480 --> 00:19:27,280
En principio,
se trabaja con los datos
375
00:19:27,360 --> 00:19:30,360
aportados por el oftalmólogo
y el contactólogo.
376
00:19:30,600 --> 00:19:32,640
Con los datos que nos aportan ambos,
377
00:19:32,720 --> 00:19:36,600
ingresamos al programa de cálculo
que tenemos para cada diseño
378
00:19:36,680 --> 00:19:38,920
y ese programa, a su vez,
nos brinda a nosotros
379
00:19:39,000 --> 00:19:41,480
todos los parámetros que vamos
a necesitar para la fabricación.
380
00:19:41,560 --> 00:19:45,120
[Música instrumental]
381
00:19:45,200 --> 00:19:47,680
Normalmente,
los factores que intervienen
382
00:19:47,760 --> 00:19:49,960
en el cálculo de la graduación
383
00:19:50,040 --> 00:19:52,800
son el radio de la cara interna
en la zona óptica,
384
00:19:52,880 --> 00:19:54,520
el radio de cara externa,
385
00:19:54,600 --> 00:19:57,560
el índice de refracción del material
y el espesor de la lente.
386
00:19:57,640 --> 00:19:59,080
Los espesores que se manejan
387
00:19:59,160 --> 00:20:02,760
son desde
seis centésimas de milímetro
388
00:20:02,840 --> 00:20:05,040
hasta
treinta centésimas de milímetro,
389
00:20:05,120 --> 00:20:06,800
varían dentro de ese rango
390
00:20:06,880 --> 00:20:08,320
y casi siempre
tienen que ver también
391
00:20:08,400 --> 00:20:10,000
con el diseño y la graduación.
392
00:20:10,080 --> 00:20:12,800
Los diámetros, en el caso
de las lentes más permeables,
393
00:20:12,880 --> 00:20:14,960
varían de seis a once milímetros
394
00:20:15,240 --> 00:20:17,800
y, en el caso de las lentes blandas,
una vez hidratadas,
395
00:20:17,880 --> 00:20:20,520
varían entre trece
y quince milímetros
396
00:20:20,600 --> 00:20:21,640
en la mayoría de los casos.
397
00:20:21,960 --> 00:20:25,960
[Música instrumental]
398
00:20:26,040 --> 00:20:30,560
En el diseño, además de contemplarse
la zona óptica,
399
00:20:30,640 --> 00:20:32,000
que es la zona de visión,
400
00:20:32,080 --> 00:20:36,120
también,
en función de las necesidades
401
00:20:36,200 --> 00:20:38,040
de funcionamiento de la lente,
402
00:20:38,120 --> 00:20:40,800
también se hace
un cálculo geométrico
403
00:20:40,880 --> 00:20:43,120
que corresponde
al diseño de la cara externa.
404
00:20:43,200 --> 00:20:44,720
Hay varios tipos que se utilizan
405
00:20:44,800 --> 00:20:48,040
para estabilizar las lentes
en una determinada posición.
406
00:20:48,520 --> 00:20:50,240
Hay algunos métodos
407
00:20:50,320 --> 00:20:52,800
que son denominados
"de estabilización dinámica",
408
00:20:52,880 --> 00:20:54,760
otros
"de estabilización prismática"
409
00:20:54,840 --> 00:20:57,560
y lo que se utiliza
es una geometría tal
410
00:20:57,640 --> 00:21:00,600
para que la lente tenga
el centro de gravedad
411
00:21:00,680 --> 00:21:02,600
por debajo del centro geométrico.
412
00:21:02,680 --> 00:21:04,320
Esto hace que,
por efecto de la gravedad,
413
00:21:04,400 --> 00:21:06,680
se alineen estos dos centros
414
00:21:06,760 --> 00:21:09,120
y la lente se mantenga en
una determinada posición geométrica.
415
00:21:15,200 --> 00:21:18,840
Una vez que se tiene el diseño,
la lente se dibuja.
416
00:21:18,920 --> 00:21:21,880
Para eso se utilizan
nociones sobre geometría,
417
00:21:21,960 --> 00:21:25,840
y, después,
para calcular los parámetros
418
00:21:25,920 --> 00:21:28,120
que se necesitan
para la fabricación,
419
00:21:28,200 --> 00:21:30,160
se utiliza mucho
el teorema de Pitágoras,
420
00:21:30,240 --> 00:21:31,280
el teorema del seno
421
00:21:31,360 --> 00:21:33,480
y las funciones trigonométricas
básicas.
422
00:21:33,560 --> 00:21:38,760
[Música suave]
423
00:21:38,840 --> 00:21:41,560
[Música alegre]
424
00:21:41,640 --> 00:21:44,840
(Adrián Paenza)
Habíamos quedado
en que teníamos estas diez monedas
425
00:21:44,920 --> 00:21:48,760
que formaban un triángulo
y este triángulo miraba para arriba.
426
00:21:49,760 --> 00:21:51,960
¿Cómo se puede hacer
para lograr cambiarla
427
00:21:52,040 --> 00:21:55,040
de manera tal que el vértice ahora
mire para abajo
428
00:21:55,120 --> 00:21:57,160
moviendo solamente tres monedas?
429
00:21:57,520 --> 00:22:01,440
Si uno mueve las que están
en los vértices de abajo para arriba
430
00:22:01,520 --> 00:22:03,720
y la de la punta para abajo,
431
00:22:04,200 --> 00:22:08,720
ahora ya sí, obtiene un triángulo
como quería, que mira hacia abajo.
432
00:22:09,360 --> 00:22:15,360
[Música alegre]
433
00:22:17,440 --> 00:22:19,040
Quiero mostrarles algo
434
00:22:19,120 --> 00:22:20,760
que tiene que ver
con lo que se llama
435
00:22:20,840 --> 00:22:23,640
"La banda de Moebius". Síganme.
436
00:22:23,720 --> 00:22:26,600
De este lado, hay algo rojo.
437
00:22:26,680 --> 00:22:28,760
Yo voy a empezar a girarlo
438
00:22:31,880 --> 00:22:34,320
y ahora, de este lado,
quedó amarillo.
439
00:22:35,480 --> 00:22:37,560
Doy la vuelta nuevamente
440
00:22:38,880 --> 00:22:40,280
y ahora queda rojo
441
00:22:40,360 --> 00:22:42,760
y, si doy vuelta nuevamente,
442
00:22:43,320 --> 00:22:45,000
ahora queda amarillo.
443
00:22:46,200 --> 00:22:49,840
Es decir, lo notable que tiene esto
que es tan sencillo
444
00:22:49,920 --> 00:22:54,440
es que aparece, al dar vuelta,
por un lado, la parte roja
445
00:22:54,520 --> 00:22:56,680
y, por otro lado, la parte amarilla.
446
00:22:56,760 --> 00:22:58,400
¿Y cómo puede ser eso?
447
00:22:58,560 --> 00:23:00,680
En el año 1858,
448
00:23:00,760 --> 00:23:03,760
a un señor que se llamaba Moebius,
un científico francés,
449
00:23:03,840 --> 00:23:06,680
se le ocurrió una idea
tan sencilla como la siguiente:
450
00:23:06,760 --> 00:23:10,160
si uno tiene una banda de este tipo,
lo que uno debería hacer
451
00:23:10,240 --> 00:23:13,240
si uno quiere atarse
como si fuera un cinturón,
452
00:23:13,320 --> 00:23:14,880
lo que uno hace es hacerlo así.
453
00:23:14,960 --> 00:23:18,000
Sin embargo, lo que hizo Moebius
fue, en lugar de hacer así,
454
00:23:18,080 --> 00:23:19,120
lo dio vuelta.
455
00:23:19,200 --> 00:23:22,640
Nada menos que con un sencillo
movimiento de este tipo,
456
00:23:22,720 --> 00:23:27,040
lo pegó y quedó una cosa
tan maravillosa como esta
457
00:23:27,120 --> 00:23:28,560
y antiintuitiva.
458
00:23:28,760 --> 00:23:30,160
Es decir que lo que hizo
459
00:23:30,240 --> 00:23:31,840
es que--
Fíjense qué es lo que pasa ahora.
460
00:23:31,920 --> 00:23:34,280
Yo voy a empezar
recorriendo con mi dedo.
461
00:23:34,360 --> 00:23:36,920
Empiezo por acá,
donde está la línea punteada,
462
00:23:37,000 --> 00:23:38,920
sigo, sigo, sigo, vengo a este lado,
463
00:23:39,000 --> 00:23:43,040
en donde la línea punteada
se terminó y queda la parte lisa,
464
00:23:43,240 --> 00:23:46,680
doy toda la vuelta
y, cuando llego, otra vez,
465
00:23:46,760 --> 00:23:48,040
en un momento determinado,
466
00:23:48,120 --> 00:23:50,720
aparezco otra vez
en la parte punteada.
467
00:23:51,280 --> 00:23:54,800
Es decir que lo extraordinario
es que se logró
468
00:23:54,880 --> 00:23:58,280
que, en lugar de tener
una superficie que tiene dos caras--
469
00:23:58,360 --> 00:24:00,960
Como si uno agarra una hoja
y tiene esta cara y esta cara,
470
00:24:01,040 --> 00:24:02,360
la de adentro y la de afuera,
471
00:24:02,440 --> 00:24:04,360
o la de afuera y la de adentro,
es lo mismo.
472
00:24:04,440 --> 00:24:08,040
Haciendo nada más que esa inversión
de ciento ochenta grados,
473
00:24:08,120 --> 00:24:11,960
uno lo que logra es tener ahora
una superficie con una sola cara.
474
00:24:12,040 --> 00:24:13,280
Eso es extraordinario.
475
00:24:13,360 --> 00:24:16,200
Yo los invito, de todas maneras,
para que ustedes hagan lo siguiente:
476
00:24:16,280 --> 00:24:18,720
tomen una banda de Moebius,
que es muy fácil de hacer
477
00:24:18,800 --> 00:24:20,640
y córtenla por la mitad.
478
00:24:20,720 --> 00:24:21,960
Y, al cortarla por la mitad,
479
00:24:22,040 --> 00:24:23,680
se empiezan a obtener
cosas extrañas,
480
00:24:23,760 --> 00:24:25,840
en particular, se obtiene esto.
481
00:24:26,120 --> 00:24:28,160
Ahora, más allá de la curiosidad
482
00:24:28,240 --> 00:24:30,040
de saber qué es lo que se tiene
y qué no,
483
00:24:30,120 --> 00:24:31,840
quiero hablar
de un par de aplicaciones
484
00:24:31,920 --> 00:24:35,040
muy sencillas y muy rápidas
para terminar el programa.
485
00:24:35,120 --> 00:24:36,440
La primera es la siguiente:
486
00:24:36,520 --> 00:24:37,560
en un momento determinado,
487
00:24:37,640 --> 00:24:40,520
se decidió utilizar
bandas de Moebius
488
00:24:40,600 --> 00:24:43,760
en las cintas transportadoras
de los aeropuertos. ¿Por qué?
489
00:24:43,840 --> 00:24:46,320
Porque, en lugar de que se desgaste
un solo lado,
490
00:24:46,400 --> 00:24:49,200
al hacer esa inversión
de ciento ochenta grados,
491
00:24:49,280 --> 00:24:51,600
ahora se desgastan supuestamente
las dos caras,
492
00:24:51,680 --> 00:24:53,640
que ahora como ustedes saben
es una sola
493
00:24:53,720 --> 00:24:55,240
al mismo tiempo.
494
00:24:55,320 --> 00:24:57,560
Uno tiene el doble
para que se desgaste,
495
00:24:57,640 --> 00:24:59,800
de manera tal que tiene
un aprovechamiento mejor
496
00:24:59,880 --> 00:25:01,120
en los aeropuertos.
497
00:25:01,200 --> 00:25:03,760
Y, por el otro lado, están
las cintas magnetofónicas,
498
00:25:03,840 --> 00:25:07,240
porque, cuando tiene que grabar
por ejemplo, un cassette, un "tape",
499
00:25:07,320 --> 00:25:10,000
en un grabador de audio,
por ejemplo,
500
00:25:10,080 --> 00:25:12,920
entonces, en lugar de que la cinta
corra así todo el tiempo,
501
00:25:13,000 --> 00:25:16,400
lo que uno hace es, en el extremo,
haberla pegado de forma distinta,
502
00:25:16,480 --> 00:25:19,240
de esa manera
tiene el doble de duración.
503
00:25:19,560 --> 00:25:21,600
Estas son nada más
que dos de las aplicaciones.
504
00:25:21,680 --> 00:25:22,840
Hay muchas más.
505
00:25:23,200 --> 00:25:25,000
Este es un programa de matemática.
506
00:25:25,080 --> 00:25:27,000
La matemática enseña a pensar,
educa,
507
00:25:27,080 --> 00:25:29,600
permite que uno
tome decisiones más racionales,
508
00:25:29,680 --> 00:25:32,440
pero, además,
la matemática es creativa.
509
00:25:32,680 --> 00:25:35,080
Uno aprende matemática
haciendo matemática
510
00:25:35,160 --> 00:25:36,600
y, aunque esto no parezca,
511
00:25:36,680 --> 00:25:39,760
esto forma parte
del quehacer cotidiano
512
00:25:39,840 --> 00:25:43,520
de aquellos que todos los días
hacen matemática. Gracias.
513
00:25:43,600 --> 00:25:45,880
Nos reencontramos
en cualquier momento.
514
00:25:48,360 --> 00:25:54,360
[Música de cierre]